Sta je Furijeova transformacija od f(x+a)?

Sta je Furijeova transformacija od f(x+a)? 23.10.2007. u 09:01 · pre 232 meseca #1

Sta je Furijeova transformacija od f(x+a) gde je a=const.

F{f(x+a)}=?

Moje pitanje je da li je ovo integral [-beskonacno,beskonacno] f(x+a)e^-ixtdx ili integral [-beskonacno,beskonacno] f(x+a)e^ixtdx?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Sta je Furijeova transformacija od f(x+a)? 23.10.2007. u 11:35 · pre 232 meseca #2

Furijeovu transformaciju mozes da definises bilo sa +ixt ili sa -ixt -- izbor je proizvoljan. Takodje mozes da pomnozis rezultat proizvoljnom konstantom C.
Medjutim, ako izaberes +ixt, inverzni furije mora da ima -ixt i obrnuto.
Ako uzmes $F[f](t) = C \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) e^{-ixt} dx$
onda invers mora da bude
$F^{-1}[f](x) = \frac{1}{2\pi C} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{+ixt} dt$

A Furije od f(x+a) bice:
$F[f(x+a)](t) = C \int_{-\infty}^{+\infty} f(x+a) e^{-ixt} dx =$
$C \int_{-\infty}^{+\infty} f(x+a) e^{+iat} e^{-i(x+a)t} d(x+a) =$
$e^{+iat} C \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) e^{-iut} du = e^{+iat} F[f](t)$

Re: Sta je Furijeova transformacija od f(x+a)? 23.10.2007. u 15:19 · pre 232 meseca #3

Hvala puno!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Sta je Furijeova transformacija od f(x+a)? 23.10.2007. u 17:43 · pre 232 meseca #4

Ovo sto je Marko Cetina opisao u detalje se cesto navodi kao jedno od svojstava
Furijeove transformacije:
- pomeraj u vremenu se manifestuje kao pomeraj faze u frekventnom domenu.

Re: Sta je Furijeova transformacija od f(x+a)? 27.10.2007. u 00:16 · pre 231 mesec #5

Hajde da recimo definisem Furije transformaciju sa $F[f](t) = C \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) e^{-ixt} dx$ . Kada ja pisem i da li treba da pisem u nekom slucaju $F[f](t) = v.p.C \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) e^{-ixt} dx$ ? Odnosno kada se trazi ta Kosijeva glavna vrednost integrala?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Sta je Furijeova transformacija od f(x+a)? 27.10.2007. u 03:49 · pre 231 mesec #6

Uhhhh.....

Prokleti fizicari :)

Furijeove transformacije su jednoznacno definisane za sve square integrable funkcije tj. funkcije f takve da $\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(x) dx$ postoji.

Medjutim, puno funkcija koje se u fizici koriste nisu ovakve. Konkretno, ako funkcija ima pol na realnoj osi, oko pola f^2 ~ 1/(x-x0)^2, ciji integral je divergentan. Postojanje i jednoznacnost Furijeove transformacije u ovakvim slucajevima je pod znakom pitanja.

Naravno, fizicari ne bi bili fizicari da u matematickim divergencijama ne traze fizicke razloge. Jedan od najboljih primera za ovo je propagacija talasa:
$\nabla^2 f - \partial_{tt} f = s(r,t)$
gde je s izvor talasa. Ukoliko je izvor dirakov impuls u prostoru i vremenu (impulsna pobuda), posle furijeova transformacije u prostoru imamo:
$-k^2 f - \partial_{tt} f = \delta(t)$

Ovo se pak resava ponovnom Furijeovom transformacijom:
$(-k^2+\omega^2)f = 1$
ili
$f = 1/(\omega^2 - k^2)$
sto pak ima dva pola na realnoj osi i nije square-integrabilno.

Inverznu Furijeovu transformaciju ovog izraza mozes da "sracunas" bez divergencije na 5 nacina:
1) kao Cauchy principal value
2) tako sto liniju integraljenja pomeris sa realne ose za $+i\epsilon$ u kompleksnoj ravni gde je $\epsilon>0$
3) tako sto liniju integraljenja pomeris sa realne ose za $-i\epsilon$ u kompleksnoj ravni gde je $\epsilon>0$
4) tako sto liniju integraljenja pomeris malo ispod realne ose za $\omega\approx-k$ a malo iznad za $\omega\approx+k$
5) tako sto liniju integraljenja pomeris malo iznad realne ose za $\omega\approx-k$ a malo ispod za $\omega\approx+k$

"sracunas" sam stavio pod navodnike jer, kao Riemannov integral, ova Furijeova transformacije prosto ne postoji.
Medjutim, gorenavedeni granicni procesi koji samo lice na Riemannov integral postoje.

Rezultati ovih procesa su sledeci:
1) $f(k,t) = -\pi \sin(k |t|)/k$
2) $f(k,t) = 0$ za t>0 i $f(k,t) = 2\pi sin(k t)/k$ za t<0.
3) $f(k,t) = 0$ za t<0 i $f(k,t) = -2\pi sin(k t)/k$ za t>0
4) $f(k,t) = -i\pi/k e^{-i k t}$ za t>0 i $f(k,t) = i\pi/k_0 e^{i k t}$ za t<0.
5) $f(k,t) = i\pi/k e^{i k t}$ za t>0 i $f(k,t) = -i\pi/k_0 e^{-i k t}$ za t<0.

Za svaku od ovih opcija mozes jednoznacno da sracunas inverznu furijeovu transformaciju u k-x prostoru i na taj nacin dobijes 5 resenja prvobitne talasne jednacine sa impulsnom pobudom.

Po cemu se ova resenja razlikuju? Da li su sva ispravna?

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme