planametrija, problem sa upisanim krugom???

planametrija, problem sa upisanim krugom??? 17.06.2007. u 22:37 · pre 235 meseci #1

U zadatku : Dat je pravougli trougao. Poluprecnik opisanog kruga je R = 15, a poluprecnik upisanog kruga je r = 6. Odredi stranice trougla?

Nadjem hipotenuzu preko c/2sinus90 = 30 ali ne ide dalje??? ako radim preko obrasca (h-6)^2 = (b-15)^2 +225 , a h^2 = b^2 - 225

Da li ovo moze samo u slucaju jednakokrakog trougla ili ??? Dobijem da je b = 15 a to se ne uklapa u resenje?

Potpis

Kad te majstor Zivota opravi bices na konju!!

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 17.06.2007. u 22:45 · pre 235 meseci #2

Pođi od dveju poznatih formula za pravougli trougao:

$R={c\over 2}$
$r={a+b-c\over 2}$

Dobićeš sistem od jedne kvadratne i jedne linearne jednačine po $a$ i $b$ .

Odgovor: $18, 24, 30$

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 17.06.2007. u 22:46 · pre 235 meseci #3

hipotenuza je uvek jednaka prečniku opisanog kruga... a ostale dve stranice nađeš preko pitagorine teoreme i prečnika upisanog kruga

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 17.06.2007. u 23:18 · pre 235 meseci #4

Hvala na pomoci, sad je mnogo jasnije...

Ako moze pomoc i oko ovog zadatka?

Jedna kateta pravouglog trougla je a = 2sqrt(2), a duzina simetrale pravog ugla je s = 3 . Odrediti povrsinu trougla?

Dali je ta simetrala = c/2 u pravouglom trouglu?

Potpis

Kad te majstor Zivota opravi bices na konju!!

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 00:06 · pre 235 meseci #5

Evo ovako:

$a=2\sqrt{2}$ $s=3$ $\angle C=\frac{\pi}{4}$
Mozes naci $y$ preko kosinusne teoreme:
$y^2 =a^2 +s^2 -2as\cos \frac{\pi}{4}\Longrightarrow y^2 =8+9-12\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\Longrightarrow y=\sqrt{5}$
Posto je $y=\sqrt{5}$ i posto je $c=x+y$ onda je $x=c-\sqrt{5}$

Sada napravis sistem jednacina sa 2 nepoznate $c,b$ ,pomocu kosinusne teoreme i pomocu pitagorine teoreme:
$x^2 =b^2 +s^2 -2bs\cos \frac{\pi}{4}\Longrightarrow (c-\sqrt{5})^2 =b^2 +9-3\sqrt{2}b\Longrightarrow c^2 -2\sqrt{5}c+5=b^2 +9-3\sqrt{2}b$
$c^2=a^2+b^2\Longrightarrow c^2=8+b^2\Longrightarrow c=\sqrt{8-b^2 }$

Sada $c^2$ i $c$ iz druge jednacine ubacis u prvu jednacinu:
$8+b^2-2\sqrt{5}\sqrt{8-b^2 }+5=b^2+9-3\sqrt{2}b$
$2\sqrt{5}\sqrt{8+b^2}=3\sqrt{2}b+4$ Sada ovo kvadriras
$20(8+b^2 )=18b^2 +24\sqrt{2}b+16$
$2b^2 -24\sqrt{2}b+144=0$
Ova kvadratna jednacina ima samo jedno resenje:
$b=\frac{ 24\sqrt{2}\pm\sqrt{1152-1152} }{ 4 }\Longrightarrow b=6\sqrt{2}$

I konacno povrsina:
$P=\frac{ab}{2}=\frac{12\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}\Longrightarrow P=12$

Simetrala pravoug ugla ne deli hipotenuzu na 2 jednaka dela sto se vidi i sa slike.

Ovo verovatno moze i na laksi nacin ali ni ovo nije za bacanje

Potpis

Eureka!

MILAN DJUKIC
D J U K A

ABC.JPG14.19k

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 00:54 · pre 235 meseci #6

Evo još jednog načina, pa možeš da biraš.

Sa slike se vidi da je $x=a-\frac{s}{\sqrt{2}}$ ( $s$ je dijagonala kvadrata $CQPR$ , tako da su njegove stranice $\frac{s}{\sqrt{2}}$ )

$\Rightarrow\quad x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Uočimo sličnost trouglova $\triangle PBR$ i $\triangle ABC$ :

$x:\frac{s}{\sqrt{2}}=a:b$

$\Rightarrow\quad b=6\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad P=12$

Trouglic.gif1.59k

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 02:13 · pre 235 meseci #7

Svoje rjesenje navodim samo zato da bih spomenuo jednu teoremu, koja se rijetko cuje (bar se meni tako cini), kad je u pitanju planametrija.
Teorema: Simetrala ugla u trouglu dijeli suprotnu stranicu u omjeru stranica koje obrazuju taj ugao.
Napomena za RMANA: Prema tvojim rezultatima, ispade stranica b veca nego sto je stranica a, a na slici nije tako, jer se ne drzis pravila, kad je u pitanju oznacavanje pravouglog trougla. Kod pravog ugla je uvijek vrh C, a desno od njega je vrh A.
Nacrtat cu sliku, koja je po meni ispravna.
Prema navedenoj teoremi, a prema oznakama sa slike, imamo da je:

$a:b=x:(c-x)\Rightarrow{b^2x^2=a^2(c-x)^2}$ *

Primjenom kosinusne teoreme na trougao BCD, imamo:

$x^2=a^2+s^2-2as\cos{45°}=17-12=5$ **

Primjenom kosinusne teoreme na trougao ACD, imamo:

$(c-x)^2=b^2+s^2-2bs\cos{45°}=b^2-3\sqrt{2}b+9$ ***

Kad jednacine ** i *** uvrstimo u jednacinu * dobijemo:

$5b^2=8(b^2-3\sqrt{2}b+9)\Rightarrow{8b^2-24\sqrt{2}b+72-5b^2=0}\Rightarrow{8b^2-24\sqrt{2}b+72-5b^2=0/:3}$
$b^2-8\sqrt{2}b+24=0$

Rjesenja ove jednacine su:

$b_{1}=6\sqrt{2}$ i $b_{2}=2\sqrt{2}$

Rjesenje $b_{1}=2\sqrt{2}$ otpada (ako ne skontas zasto, pitaj)

Posto imas a i b, onda povrsinu izracunas onako kako je to RMAN uradio.
Pozz!

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

trougao.JPG8.64k

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 13:00 · pre 235 meseci #8

hvala momci na pomoci, RMAN, jel upisujes E2 na FTN?

Potpis

Kad te majstor Zivota opravi bices na konju!!

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 13:32 · pre 235 meseci #9

Citat:

Kolins Balaban: Rjesenje $b_{1}=2\sqrt{2}$ otpada (ako ne skontas zasto, pitaj)

Ja ne kontam zašto, može li pojašnjenje? Mislim, jasno je da ne može biti $a=b=2\sqrt{2}$ , jer bi tada bilo $s=2$ a ne $s=3$ , ali kako direktno iz tvog računa zaključiti da ovo rešenje otpada?

Ne vidim kakve veze označavanje temena na slici ima sa pravilnim odnosom dužina stranica? Ti si, recimo, nacrtao sliku na taj način, da se teme $B$ nalazi desno od temena $C$ , ali i pored toga te ništa nije sprečavalo da stranicu $a$ nacrtaš dužu od $b$ . Ja sliku crtam tako što za vreme crtanja vodim računa (donekle) o brojnim vrednostima dužina stranica, tako da dobijem koliko-toliko korektne proporcije, ali to nema veze sa načinom obeležavanja temena. A čak i ako se ne pridržavamo proporcija, pa dobijemo sliku sa pogrešnim odnosom stranica kao što je slučaj u RMAN-ovom rešenju, to i nije toliko bitno jer ne utiče na dobijeni rezultat.

I mada ovo nema veze sa samom matematikom - za sve koji budu upload-ovali slike - preporučljivo je crteže redukovati na samo 2 boje (belu i crnu), a zatim ih spakovati u GIF-format, na taj način se dobije mnogo manji fajl u kB nego kad se pakuje u JPEG (mada ni JPEG nije preterano veliki), ali i linije su mnogo oštrije, jer nema zamućenja karakterističnog za JPEG-format.

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 14:49 · pre 235 meseci #10

Vrlo jednostavno, ako bi bilo $a=b=2\sqrt{2}$ , onda bi za uglove trougla ABC vrijedilo $\alpha=\beta=45°$
Ako pogledamo sada trouglove ACD ili BCD, vidjet cemo, da i oni imaju po dva ugla od 45° (za trougao ACD $\alpha=\angle C=45°$ , a za trougao BCD $\beta=\angle C=45°$ ), pa bi sa slike trebalo da bude, za trougao BCD, x=s, a za trougao ACD je s=c-x (zbog cinjenice, da naspram jednakih uglova, leze jednake stranice, i obratno), a iz dobijenih vrijednost za x i zadate vrijednost s, vidimo da to ne moze biti.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 15:33 · pre 235 meseci #11

Oki, mislio sam da postoji neki direktniji način da se to rešenje odbaci, a nerviralo me što ne mogu da ga uočim. Znači, ipak mora da se upoređuje sa zadatim vrednostima, kao što sam i napisao...

Reci mi, u vezi ove teoreme sa odnosom delova stranice koje deli simetrala, pošto se ranije nisam susretao s njom, ima li ta teorema neki naziv, po kome bih mogao da je pronađem na net-u? Što se dokaza tiče, ja sam je dokazao putem sinusne teoreme u par redova, ima li neki još jednostavniji način dokazivanja?

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 17:01 · pre 235 meseci #12

Evo prisjetio sam se dokaza :)
Produzimo stranicu AB, trougla ABC do tacke F, tako da je AC=AF. Sa slike se vidi da je $\angle F=\frac{\alpha}{2}$ , odakle slijedi da su trouglovi BCF i ABD slicni ( $\angle F=\frac{\alpha}{2}$ , ugao $\beta$ je zajednicki). Prema tome, mozemo napisati sljedecu proporciju:
$AB:BD=BF:BC$ *
Posto je $BF=AB+AF=AB+AC$ (jer je trougao ACF jednakokraki, pa je AF=AC) **
Jos imamo da je $BC=BD+CD$ ***
Kad ** i *** zamjenimo u * dobijemo
$AB:BD=(AB+AC):(BD+CD)$
$AB(BD+CD)=BD(AB+AC)$
$AB\cdot{BD}+AB\cdot{CD}=AB\cdot{BD}+AC\cdot{BD}$
Nakon kracenja $AB\cdot{BD}$ dobijemo
$AB\cdot{CD}=AC\cdot{BD}$
I na kraju
$AB:AC=BD:CD$

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

trokutic.GIF2.91k

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 17:20 · pre 235 meseci #13

Vidim da sam zaboravio odgovoriti na dio pitanja. Tacan naziv teoreme ne znam, niti sam ga gdje pronasao. Teorema doslovno ovako glasi
Simetrala unutrasnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu iznutra na dijelove koji se odnose kao strane uz taj trougao.
Postoji jos jedna teorema, koja, moze se reci, ide uz ovu:
Simetrala vanjskog ugla trougla, dijeli naspramnu stranicu priduzenog mu unutrasnjeg ugla izvana na dijelove koji se odnose kao stranice unutrasnjeg njemu susjednog ugla trougla.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 17:48 · pre 235 meseci #14

Mislim da teorema i nema drugo ime. I po stranim izvorima najčešće se označava kao "Teorema o simetrali ugla (u trouglu)"

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 18:06 · pre 235 meseci #15

Citat:

zivota11: hvala momci na pomoci, RMAN, jel upisujes E2 na FTN?

_{[Ovu poruku je menjao zivota11 dana 18.06.2007. u 14:00 GMT+1]}

ok , za sad nas je trojica :)

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 18:12 · pre 235 meseci #16

Jednostavnije je preko sinusne teoreme:

$\frac{x}{\sin\theta}=\frac{a}{\sin(\pi-\varphi)}=\frac{a}{\sin\varphi$

$\frac{y}{\sin\theta}=\frac{b}{\sin\varphi$

$\frac{\sin\theta}{\sin\varphi}=\frac{y}{b}=\frac{x}{a}\quad\Rightarrow\quad\frac{a}{b}=\frac{x}{y}$

Teorema.gif1.17k

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 18:25 · pre 235 meseci #17

Jeste brže preko sinusne, ali taj dokaz ne možeš izvesti đacima VII ili VIII razreda, a njima ova teorema za teže i takmičarske zadatke dobro dođe.

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 18:59 · pre 235 meseci #18

@zivota11

Da upisujem E2 na FTN-u

Potpis

Eureka!

MILAN DJUKIC
D J U K A

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 19:32 · pre 235 meseci #19

Upravo tako Farenhajt, ta teorema se spominje u osnovnoj skoli, obicno na dodatnoj nastavi, onda i u prvom razredu srednje skole, a posebno u drugom razredu, kad se radi homotetija, slicnost, Talesova teorema.... a to je sve prije trigonometrije. Tako je npr. Pitagorinu T. najlakse dokazati preko trigonometrije ili slicnosti, a to je nemoguce u VII razredu, pa se cesto dokaz i izostavlja na redovnoj nastavi.

PS: RMAN i EArthquake, sretno na prijemnom, pretpostavljam da je uskoro. Ako imate jos kakvih nedoumica, i mislite da mozemo jos pomoci, slobodno pitajte. Nemojte, da vam se desi, da vam dodje zadatak, a niste ga znali kod kuce, ili ste zapeli na nekoj maloj sitnici, za koju ste mislili da je nebitna, a zapravo je kljucna za rjesavanje zadatka, pa ste to i preskocili. Pozz

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: planametrija, problem sa upisanim krugom??? 18.06.2007. u 20:57 · pre 235 meseci #20

A meni nista srecno???

Potpis

Kad te majstor Zivota opravi bices na konju!!

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme