Analitička geometrija - dva zadatka

Analitička geometrija - dva zadatka 04.05.2007. u 17:49 · pre 237 meseci #1

1. Produkt udaljenosti oba žarišta hiperbole x^2 - y^2 = 1 do tangente koja prolazi točkom T(2,sqr(3)) je 1. Kako? Meni izađe 7. Računam tako što nađem jednadžbu tangete i upotrijebim formulu za udaljenost točke od pravca.

2. Točke na elipsi 9x^2 + 25x^2 = 225 iz kojih se njena žarišta vide pod pravim kutom čine vrhove konveksnog četverokuta. Površina tog četverokuta je? Ja ne mogu da skužim iz koje se točke vide žarišta pod pravim kutom.

Re: Analitička geometrija - dva zadatka 04.05.2007. u 20:06 · pre 237 meseci #2

Evo malo sam gledao ove zadatke, i nabrzinu sam uradio drugi, pa cu ti dati rjesenje. Iz jednacine elipse dobijes da je a=5 i b=3, odakle se dobije da je e=4. Po definiciji elipse imas da je
$r_{1}+r_{2}=2a\Rightarrow{r_{1}+r_{2}=10}$
posto je trougao koji cine katete $r_{1}$ i $r_{2}$ i hipotenuza 2e pravougli, onda mozes napisati sljedecu jednacinu
$r_{1}^2+r_{2}^2=(2e)^2\Rightarrow{r_{1}^2+r_{2}^2=64}$
sada trebas rijesiti sistem:
$r_{1}+r_{2}=10$
$r_{1}^2+r_{2}^2=64$
njegova rjesenja su
$r_{11}=5+\sqrt{7}$
$r_{12}=5-\sqrt{7}$
$r_{21}=5-\sqrt{7}$
$r_{22}=5+\sqrt{7}$
prema tome, jedno rjesenje je: $r_{11}=5+\sqrt{7}$ , $r_{21}=5-\sqrt{7}$
a drugo je: $r_{12}=5-\sqrt{7}$ , $r_{22}=5+\sqrt{7}$
Povrsina trazenog cetverougla na slici se sastoji iz povrsina dva jednaka pravougla trougla, cije su katete $r_{1}$ i $r_{2}$

Prema tome, imamo da je

$P=2\cdot{\frac{r_{1}\cdot{r_{2}}}{2}}=r_{1}\cdot{r_{2}}=5^2-(\sqrt{7})^2=18$
Valjda je to TO ;) pozz
PS: mozda ces pitati, a kako to da imamo dva rjesenja? pa vrh trougla u gornjoj polovini elipse, koji se nalazi na samoj elipsi, na toj slici se nalazi u II kvadrantu, a isto tako se moze nalaziti i u prvom, odnosno $r_{1}$ i $r_{2}$ mogu ZAMJENITI MJESTA. isto tako vrijedi i za donji trougao, ali mu se povrsina nece promjeniti, sto pokazuju i rjesenja.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

elipsa.JPG11.18k

Re: Analitička geometrija - dva zadatka 04.05.2007. u 20:39 · pre 237 meseci #3

Evo cacko sam i drugi zadatak :)
Fokusi ti se nalaze u tackama
$F_{1}(\sqrt{2},0)$
$F_{2}(-\sqrt{2},0)$
Iz jednacine hiperbole dobijes da je a=b=1, pa mozes napisati jednacinu tangente na tu hiperbolu, kroz tacku

$T(2,\sqrt{3})$

ta jednacina glasi:

$b^2x_{1}x-a^2y_{1}y=a^2b^2\Rightarrow{2x-\sqrt{3}y=1}\Rightarrow{2x-\sqrt{3}y-1=0}$ - jednacina tangente.
iz te jednacine dobijes da je A=2, $B=-\sqrt{3}$ i C=-1
Treba naci proizvod $F_{1}T\cdot{F_{2}T}$
Rastojanje tacke od prave je dato formulom:

$d=\frac{|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\pm{\sqrt{A^2+B^2}}}$

$F_{1}T=\frac{|2\sqrt{2}-1|}{\pm{\sqrt{4+3}}}=\frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{7}}$

$F_{2}T=\frac{|-2\sqrt{2}-1|}{\pm{\sqrt{4+3}}}=\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{7}}$

Sada je

$F_{1}T\cdot{F_{2}T}=\frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{7}}\cdot{\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{7}}}=1$

Pozz

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme