Zadatak dokazivanje - hitno!

Zadatak dokazivanje - hitno! 25.04.2007. u 12:51 · pre 237 meseci #1

Dokazati da za |x|<1/2 vazi 3arccosx-arccos(3x-4(x na 3))=Pi.

Da li moze da se resi preko leme o dva policajca?

Potpis

MMMMMaaaallllllleeee

Re: Zadatak dokazivanje - hitno! 25.04.2007. u 17:16 · pre 237 meseci #2

$|x|<\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad 3\arccos x-\arccos(3x-4x^3)=\pi$

Nađemo cosinus obe strane jednačine:

$\cos\left[3\arccos x-\arccos(3x-4x^3)\right]=\cos\pi=-1$

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ :

$\cos(3\arccos x)\cos\left[\arccos(3x-4x^3)\right]+\sin(3\arccos x)\sin\left[\arccos(3x-4x^3)\right]=-1$

$-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}\quad\Rightarrow$

$\Rightarrow\quad\frac{\pi}{3}<\arccos x<\frac{2\pi}{3}\quad\Rightarrow$

$\Rightarrow\quad\pi<3\arccos x<2\pi\quad\Rightarrow$

$\Rightarrow\quad\sin(3\arccos x)<0\quad\Rightarrow$

$\Rightarrow\quad\sin(3\arccos x)=-\sqrt{1-\cos^2(3\arccos x)}$

$-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}\quad\Rightarrow$

$\Rightarrow\quad -1<3x-4x^3<1\quad\Rightarrow$

$\Rightarrow\quad 0<\arccos(3x-4x^3)<\pi\quad\Rightarrow$

$\Rightarrow\quad\sin\left[\arccos(3x-4x^3)\right]>0\quad\Rightarrow$

$\Rightarrow\quad\sin\left[\arccos(3x-4x^3)\right]=+\sqrt{1-\cos^2\left[\arccos(3x-4x^3)\right]}$

$\cos(3\arccos x)\cos\left[\arccos(3x-4x^3)\right]-\sqrt{1-\cos^2(3\arccos x)}\sqrt{1-\cos^2\left[\arccos(3x-4x^3)\right]}=-1$

$\cos(3\arccos x)\cdot(3x-4x^3)-\sqrt{1-\cos^2(3\arccos x)}\sqrt{1-(3x-4x^3)^2}=-1$

$\cos{3x}=\cos(2x+x)=\cdots=4\cos^3 x-3\cos x$

$\left[4\cos^3(\arccos x)-3\cos(\arccos x)\right]\cdot(3x-4x^3)-\sqrt{1-\left[4\cos^3(\arccos x)-3\cos(\arccos x)\right]^2}\sqrt{1-(3x-4x^3)^2}=-1$

$(4x^3-3x)(3x-4x^3)-\sqrt{1-(4x^3-3x)^2}\sqrt{1-(3x-4x^3)^2}=-1$

$-(4x^3-3x)^2-\sqrt{1-(4x^3-3x)^2}\sqrt{1-(4x^3-3x)^2}=-1$

$-(4x^3-3x)^2-\left[1-(4x^3-3x)^2}\right]=-1$

Re: Zadatak dokazivanje - hitno! 25.04.2007. u 19:32 · pre 237 meseci #3

Znaci ne moze nikako drugacije da se resi. Izgleda da sam pao Analizu 1 zbog ovog zadatka. Ja sam samo zamenio -1/2 i 1/2 i pokazao sam da vazi za x=0.

Potpis

MMMMMaaaallllllleeee

Re: Zadatak dokazivanje - hitno! 25.04.2007. u 20:08 · pre 237 meseci #4

Eh, sorry za ispit.:( Ne znam da li se može dokazati tom lemom o dva policajca, štaviše prvi put čujem za tu lemu, pokušao sam da je nađem preko yu-pretraživača, ali sa ključnim rečima "lema" i "dva policajca" dobijem kao rezultate samo to da "policajci lemaju".:)) Ako te ne mrzi, napiši kako glasi ta lema pa da vidimo da li se njenim korišćenjem može nešto uraditi po pitanju ovog zadatka.

Re: Zadatak dokazivanje - hitno! 26.04.2007. u 01:26 · pre 237 meseci #5

Malo sam se dodatno interesovao ovim problemom i može se uraditi i tako kao što si ti krenuo, znači dokažeš da jednačina važi za $x=0$ , a zatim dokažeš da je leva strana jednačine konstantna u intervalu $x\in \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ , tj. da je prvi izvod leve strane jednačine, u tom intervalu, jednak nuli.

$\left[3\arccos x-\arccos(3x-4x^3)\right]'=0$

$-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}-\left(-\frac{3-12x^2}{\sqrt{1-\left(3x-4x^3\right)^2}}\right)=0$

Naravno, treba pokazati i da su svi ovi izrazi definisani u intervalu $x\in \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ ...

Ovo se sada svodi na dokazivanje da je

$\frac{1-4x^2}{\sqrt{1-\left(3x-4x^3\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(1-4x^2)^2(1-x^2)=1-(3x-4x^3)^2$

$(1-8x^2+16x^4)(1-x^2)=1-9x^2+24x^4-16x^6$

$1-8x^2+16x^4-x^2+8x^4-16x^6=1-9x^2+24x^4-16x^6$

čime je dokazana konstantnost leve strane jednačine u intervalu $x\in \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ .

Re: Zadatak dokazivanje - hitno! 26.04.2007. u 11:16 · pre 237 meseci #6

Hvala ti puno za uradjen zadatak, mislim da mi nije tacan ali boze moj, videcemo sta ce da bude. Hvala ti jos jedniom i hvala svima. A lema o dva policajca je za nizove i glasi:

Ako imamo neki niz Cn i imamo jos dva niza An i Bn za koje vazi, An<= Cn <= Bn, tada lim(x->beskonacno)An=lim(x->beskonacno)Bn=c , onda ce i lim(x->beskonacno)Cn=c.

Ja sam se malo zajebao oko tih nizova i oko ovog mog zadatka pa sam mislio da moze. Hvala svima i POZ

Potpis

MMMMMaaaallllllleeee

Re: Zadatak dokazivanje - hitno! 26.04.2007. u 12:27 · pre 237 meseci #7

Hvala i tebi za text leme.
Pozdrav

Re: Zadatak dokazivanje - hitno! 27.04.2007. u 22:44 · pre 237 meseci #8

Cesci slucaj u literaturi je lema o dva zandara. Verovatno zato nije moglo da se nadje na netu. Treba probati sa Ukljesteni nizovi lema ili sl.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme