MModeliranje sudara dvije bilijarske kugle...

Problem se sastoji u sljedecem. Imam dvije bilijarske kugle na odredjenom rastojanju. Ulazni podatak mi je brzina kojom takom udaram prvu kugli a izlaz bi mi trebao biti brzina kojom se druga kugla odbija. Uzeti u obzir trenje stola i / ili druge parametre od kojih bi sistem mogao zavisiti.Dakle formirati diferencijalnu jednacinu ( ili sistem ) u kojoj ( kojem ) ce figurisati pomenute varijable i parametri. Radi se o seminarskom iz predmeta Teorija automatskog upravljanja. Prvo sto mi je palo na pamet i od cega sam krenuo bili su naravno zakoni ocuvanja kolicine kretanja i energije pa sam od toga dobio "neke" diferencijalne jednacine na osnovu kojih sam uspio "skuckati" neki model u Matlab-u (Simulink-u). Posto znam da ovdje ima veoma pametnih glava, a vise glava je , definitivno, pametnije od jedne, molio bih ideju, smjernicu, kostur, ili bilo sto sto nekome padne na pamet a bilo bi dobro pri modeliranju ovakvog slucaja. Unaprijed hvala.

Prvo imas dinamiku onoga sto se desava pre sudara te dve bilijarske kugle. Zatim imas dinamiku samog sudara.

Dinamika pre sudara ukljucuje sile trenja. Ja mislim, a ti bi svakako trebao da proveris i javis na forum, da se bilijarske kugle kotrljaju *sa* proklizavanjem.
Ako je to tacno, na bilijarsku kuglu vec deluje maksimalna sila trenja i ta sila se nece povecati tokom samog sudara. Posto je sudar mnogo kraci od vremena do i od sudara, efekat sila trenja od sto tokom sudara bice zanemarljiv.

Ovo znaci da za razmatranje problema sudara imamo dva nesavrseno elasticna (tokom sudara dolazi do gubitka energije) okrugla tela sa konacnim medjusobnim koeficijentom trenja koja se krecu po podlozi *bez trenja* a onda sudaraju tokom kratkog vremena.

Prva stvar koju ovde mozes da uradis je da sudar posmatras iz centra mase sistema. U tom slucaju, impulsi jedne i druge kugle bice istog pravca i intenziteta ali suprotnog smera. Posle sudara, impulsi ce biti drugacijeg ali medjusobno istog pravca, drugacijeg intenziteta, ali opet medjusobno suprotnog smera. Ovo vazi *uvek*, po zakonu odrzanja momenta impulsa. Ono sto treba naci je pravac i intenzitet impulsa jedne od dve kuglice posle sudara.

Da bi ovo nasli u zavisnosti od "impact parametra" sudara, ulaznog impulsa i spina bele kuglice pre sudara, moramo da razmotrimo fiziku samog sudara. Tu stvari postaju teske i zanimljive.

Posmatraj trenutak kada dve nedeformisane kuglice prvi put stupe u kontakt jedna sa drugom. U tom trenutku, kuglice ce imati odredjenu brzinu normalnu na pravu koja spaja njihove centre i odredjenu brzinu paralelnu ovom pravcu. Takodje, bela kuglice ce imati spin u odnosu na crnu. Brzina u pravcu prave koja spaja centre izazvace deformaciju kuglica. Brzina normalna na taj pravac dovesce do proklizavanja jedne u odnosu na drugu kuglicu i stoga sile trenja. Ova sila zavisice pak od koeficijenta trenja i normalnog pritiska jedne kuglice na drugu.

Ja bih ovo resio na sledeci nacin:

Razmotrio bih prvo direktan sudar dve kuglice i nasao zavisnost sile pritiska N(t) jedne kuglice na drugu tokom sudara, ukupni gubitak energije i promenu impulsa tokom ovog direktnog sudara. Onda bih ovo N(t) iskoristio da sracunam zavisnost sile trenja od vremena. Ova sila trenja promenice pak brzine kuglica u pravcu normalnom na pravac koji razdvaja njihove centre.

U ovoj diskusiji mi nije sasvim jasno kako da sasvim ukljucim spin bele kuglice....

Ovde sigurno ima puno toga nejasnog -- pitaj slobodno --

Marko

Kao prvo, Marko, zaista hvala na ideji, pomoci i uopste odvojenom vremenu za razmatranje mog "problemcica" :) . U ovom buskurisu koji sam radio , nisam uzimao u obzir spin bijele kugle vec sam smatrao da imamo "direktni " sudar kuglica. Ova separacija na dio "prije " i "poslije" sudara problem se razlaze na dva dijela koja mozemo posebno obradjivati. To mi se svidja. Razmisljao sam ali sam ipak oducio da ne uzimam u obzir trenje izmedju kugli i izmedju kugle i taka vec samo da uzmem u obzir trenje izmedju kugli i podloge. Dakle, neka bude da u modelu bi trebale figurasati velicine : brzina kojom udaramo bijelu kuglu, udaljenost izmedju kugli, brzine bijele kugle (ulazna velicina ), brzina druge kugle ( izlazna velicina ) , koeficijent trenja podloge i drugi "medjuparametri" koji ce se pojaviti u jednacinama. Zaista me interesuje kako bi ste doveli do diferencijalne jednacine koja se moze modelirati. Interesuje me procedura. Da ne bih pisao kako sam dosao do ovoga, evo moje dif.jednacine koju sam modelirao, a ako ima jos neka dobra dusa ...:).

V2 = (U2-μgt)(u(t)-u(t-U2/ μg))

V2’ = (-μg)(u(t)-u(t-U2/ μg))


v1-brzina bijele kuglice nakon udarca
v2-brzina odbijene kuglice

iako , vjerovatno, bez prethodnog izvodjenja nece bas mnogo biti od koristi :))


Jos jednom hvala svima ( unaprijed ).

Najpogodnije i najvise razmatran slucaj je u sistemu centra mase. Tada se obe kugle priblizavaju centru sistema a nakon sudara se udanjavaju duz jedne iste prave istim brzinama ili ubrzanjima. Pa je to mnogo pogodnije da se racuna.
Prvo predes u sistem centra masa r=r1-r2 R=m1*r1+m2*r2/(m1+m2)//r i R vektori//. A zatim uvedes dj. kretanja gde dodas i silu trenja. m*dv/dt=F-kv , valjda tako nekao naravno koristis i zakone odrzanja. Ako bi stvari razmatrao u laboratoriskom sistemu onda treba da uzmes u obzir i uglove rasejanja odnosno odbijanja kugli. pa vrsis projekciju na x i y osu.

Jeste Milane ali --

1) sudar obicno nije po liniji koja spaja centre mase
2) deformacija kuglica dovodi do gubitka energije. cak i u slucaju direktnog sudara
3) *glavano* pitanje u slucaju direktnog (a i indirektnog) sudara je odrediti ovaj gubitak.

Na srecu, u slucaju direktnog sudara problem je cilindricno simetrican oko ose koja spaja centre mase.

Ostaje sada pitanje kako resiti ovaj problem cilindricno simetricne deformacije. Otud diferencijalne jednacine.

Malo sam detaljnije razmotrio ovaj slucaj. I cini mi se da njega zanimaju samo detalji vezani za sudar dve nedeformisuce kugle direktno (ceono).
Ovako kako je on definisao zadatak ne valja. fali mu jos jedan ulazni parametar, a to je rastojanje izmedu kugli. Energiju koju ce imati kugla u trenutku udara opadace od pocetne zbog gubitaka na trenje.

mdv/dt=-kv nisam siguran za silu trenja kotrljanja ali to moze da se ispravi.
dv/dt=-(k/m)v
dx/dx dv/dv=-(k/m)v
v(dv/dx) = - (k/m)v sledi
dv/dx = - k/m , v=-k/m x + c za x=0
c=vo- pocetna brzina pod predpostavkom da je masa taka i coveka u trenutku udara loptice dominantno veca od masa kugle tj. da brzina taka neposredno pre sudara jednaka brzini kugle odmah nakon sudara.Dakle

v=vo-k/m x ili mv=mvo-kx ,
p=po-kx // za zadate ulazne vrednosti vo,k ,d-pocetno rastojanje izmedu kugli.

Impuls prve kugle u tenutku udara je

p=vom-kd

maksimalan domet kugle

H=vom/k.

iznad udaljenosti H kugla bi imala negativan impuls sto naravno nije moguce. pa to trba izbeci.

Sad kad imamo impuls kugle u trenutku udara pod predpostavkom da druga kugla miruje primenjujemo zakone odrzanja

p1=p1'+po2 i E1=E1'+E02 E=p**2/2m (**stepen)

odavde mozem odrediti p2 impuls druge kugel nakon sudara. Opet primenimo istu formulu

p2=po2-k(d+x)
v2=po2/m-k/m(d+x).

Koordinatni sistem sam postavio na mestu mirovanja prve kugle pre udara taka. Moze i drugacije.Mase obe kugle iste. Ostali uticaji zanemareni, sem sile trenja kotrljanja (za njen oblik nisam siguran).