Pitanje u vezi definicije ortogonalne matrice...

Pitanje u vezi definicije ortogonalne matrice... 20.03.2007. u 14:32 · pre 239 meseci #1

Zanima me koji je uslov da matrica A bude ortogonalna ako je metrički tenzor dat matricom G (gremian)? (u slučaju da je bazis ortogonalan gremijan je jedinična matrica pa se ovaj uslov svodi na A^T A=1, tj. da je proizvod transponovane i date matrice jednak jediničnoj. Ovo je definicija koja može da se nađe u većini knjiga iz linearne algebre)

poz.

Re: Pitanje u vezi definicije ortogonalne matrice... 29.03.2007. u 02:22 · pre 239 meseci #2

$A^\dagger$ mozemo definisati preko skalarnog proizvoda (,) kao
$(u,A v) = (A^\dagger u,v)$ za sve vektore u i v.
Ako je skalarni proizvod definisan kao $(u,v) = u^\mu v^\nu g_{\mu\nu}$ , onda imamo
$u^\mu g_{\mu \alpha} A^\alpha_\beta v^\beta = (A^\dagger)^\alpha_\mu u^\mu g_{\alpha \beta} v^\beta$ .
Ako ovo vazi za sve u i v, onda
$g_{\mu \alpha} A^\alpha_\beta = (A^\dagger)^\alpha_\mu g_{\alpha \beta}$
ili, posto je metricki tenzor simetrican:
$g_{\mu \alpha} A^\alpha_\beta = g_{\beta \alpha} (A^\dagger)^\alpha_\mu$
sto u normalnoj matricnoj notaciji izgleda kao:
$g.A = (g.A^\dagger)^T$
i stoga
$A^\dagger = g^{-1}.(g.A)^T = g^{-1}.A^T.g^T = g^{-1}.A^T.g$
gde je $A^T$ cist matricni transpose $(A^T)_{\mu,\nu} = A_{\nu,\mu}$

Stoga uslov $A^\dagger.A = I$ postaje
$(A^T).g.A = g$

Ovaj rezultat ne treba da bude ni malo cudan. Ortogonalne transformacije intuitivno ne menjaju metriku. A metrika se pri linearnoj transformaciji pak menja upravo kao $g\rightarrow (A^T).g.A$ .

Kada smo vec kod ortogalnih matrica pri proizvoljnoj metrici -- na ovaj nacin mozes da izvedes Lorentzove transformacije u specijalnoj teoriji relativnosti. U 2D (vreme+prostor), to su sve matrice koje ne menjaju metriku $g = diag(c^2, -1)$ .

Marko

Re: Pitanje u vezi definicije ortogonalne matrice... 03.04.2007. u 21:41 · pre 238 meseci #3

Hvala na odgovoru. I meni je logično da se ovako definiše ortogonalna matrica u prostoru sa datom metrikom. Ono što me je bunilo je to što sam čitao Classical Mechanics od Goldstein-a (ruski prevod) u delu koji se bavi malim oscilacijama sistema sa više stepeni slobode on ortogonalnu matricu definiše kao A^T.g.A=I, sa obrazloženjem da su tada vektori koji se dobijaju kao vrste i kao kolone matrice međusobno ortogonalni (tj. skalarni proizvod vektora koji odgovaraju recimo vrsti 2 i koloni 2 je 1, a vrsti 2 i koloni 3 je nula itd.) Mada se lako vidi da za matricu A koji zadovoljava ovaj uslov u opštem slučaju ne važi (Au,Av)=(u,v) sto je odlika ortogonalnim matrica.

poz.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme