Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2

Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2 18.03.2007. u 14:17 · pre 238 meseci #1

Komplexna analiza i komplexni brojevi.
Naci sva rjesenja jednacine:
1.) sinZ + cosZ=2
2.) sinZ - cosZ=3

Bilo kakav savjet kako se radi ovaj tip zadataka. Pokusavao sam ali mi ne ide, a nemam literature...
Hvala unaprijed.

Potpis

Citav zivot je jedna velika aproksimacija ...

Re: Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2 18.03.2007. u 14:53 · pre 238 meseci #2

Ja bih tu pokušao da iskoristim identitet $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ , odnosno:

$\cos\varphi=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2},\quad \sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}$ .

Jednačinu pod 1) napišeš kao:

$\frac{e^{iZ}-e^{-iZ}}{2i}+\frac{e^{iZ}+e^{-iZ}}{2}=2\qquad /\cdot 2ie^{iZ}$

Kad to središ i uvedeš smenu $e^{iZ}=t$ , dobićeš kvadratnu jednačinu po $t$ ...

Re: Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2 18.03.2007. u 23:53 · pre 238 meseci #3

Hmm, nisam siguran da može preko toga.
Dobićeš
$t^2 - 1 + i(t^2 - 4t + 1) = 0$
ali šta onda?

Imam jedan zadatak tipa (relativno je sličan prethodnom)
$\sin z = \frac{{4i}}{3}$
radi se ovako...
$\begin{array}{l} \sin x \cdot chy + i\cos x \cdot shy = 0 + i\frac{4}{3} \\ \sin xchy = 0 \\ \cos xshy = \frac{4}{3} \\ \\ \sin x = 0;x = k\pi ;k = 0, \pm 1... \\ \cos k\pi \cdot shy = \frac{4}{3} \\ shy = \frac{4}{3}( - 1)^k \\ \frac{{e^y - e^{ - y} }}{2} = \frac{4}{3}( - 1)^k \\ \end{array}$ ...
sada se to malo sredi (pomnože se obije strane sa $2e^y$ ),
uvede se smjena...hm... $t = e^y$
Sve u svemu dobija se "na kraju krajeva"

$z = k\pi + i( - 1)^k \ln 3$
Dakle, pretpostavljam da se radi preko hiperboličnih f-ija i ovaj zadatak.

Ima li neko predlog?

Potpis

Vidi bako, DžEDAJ!

Re: Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2 19.03.2007. u 00:52 · pre 238 meseci #4

Citat:

MixMaster: Hmm, nisam siguran da može preko toga.
Dobićeš
$t^2 - 1 + i(t^2 - 4t + 1) = 0$
ali šta onda?

E onda rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ . S tom razlikom što ovde imamo kvadratnu jednačinu sa kompleksnim koeficijentima, ali mislim da to ne menja stvar.

$(1+i)t^2-i4t+(-1+i)=0$

$t_{1,2}=\frac{i4\pm\sqrt{-16-4(i^2-1)}}{2(1+i)}=\frac{i4\pm i2\sqrt{2}}{2(1+i)}$

$t_{1,2}=\frac{i2\pm i\sqrt{2}}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}$

$t_{1,2}=\frac{2(1+i)\pm (1+i)\sqrt{2}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{2}}{2}(1+i)$

$e^{iZ}=t\qquad\Rightarrow\qquad Z=\frac{\ln{t}}{i}=-i\ln{t}$

$Z_{1,2}=-i\ln\left[{\frac{2\pm \sqrt{2}}{2}}(1+i)\right]$

Sad, ako postoji logaritam kompleksne veličine, onda postoji i ovo rešenje...

...sa naglaskom na "ako"...

Re: Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2 19.03.2007. u 02:36 · pre 238 meseci #5

$\frac{e^{iZ}-e^{-iZ}}{2i}+\frac{e^{iZ}+e^{-iZ}}{2}=2\qquad /\cdot 2ie^{iZ}$
Ovo je OK, ali mislim da ne treba uvoditi smenu, vec srediti izraz i na kraju dobijamo:

${(e^{iz}-(1+i))}^2=i$

$e^{iz}=1+i+\sqrt i$

Napomena: $\sqrt i=\sqrt {e^{{i \pi} \over 2}}=e^{{i \pi} \over 4}}={{1+i}\over {\sqrt 2}}$

$e^{iz}=1+i\pm\ {{1+i}\over {\sqrt 2}}$

$e^{iz}=(1+i)(1\pm\ {1\over \sqrt 2}})$ ${/. {{\sqrt 2}\over {\sqrt 2}}$

$e^{iz}=e^{{i \pi} \over 4}}(\sqrt 2 \pm 1)$

$iz=\ln (\sqrt 2 \pm 1)+i({\pi \over 4}+2k\pi)$

$z=i\ln (\sqrt 2 \pm 1)+ {\pi \over 4}+2k\pi$

Potpis

.

Re: Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2 19.03.2007. u 10:13 · pre 238 meseci #6

Idem sada do faksa, pa nemam puno vremena da gledam, ali...ovo drugo rješenje je tačno, samo si zaboravio ''-'' ispred i.
Braker, reci mi samo još...kako si sredio da ti ispadne taj "kvadrat zbira = i" (druga j-ina koju si napisao).

Zahvaljujem se i tebi Daniel011 i tebi braker.

Pozdrav.

Potpis

Vidi bako, DžEDAJ!

Re: Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2 19.03.2007. u 10:44 · pre 238 meseci #7

Sticajem okolnosti, minus ispred $i$ nije neophodan jer je $\sqrt{2}\pm 1=\frac{1}{\sqrt{2}\mp 1}$

Re: Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2 19.03.2007. u 12:44 · pre 238 meseci #8

Zahvaljujem se i ja braker-u za ovo rešenje.
Inače, "kvadrat zbira = i" se dobija na sledeći način:

$\frac{e^{iZ}-e^{-iZ}}{2i}+\frac{e^{iZ}+e^{-iZ}}{2}=2\qquad /\cdot i2e^{iZ}$

$(e^{iZ})^2-1+i(e^{iZ})^2+i=i4e^{iZ}$

$(1+i)(e^{iZ})^2-i4e^{iZ}+(-1+i)=0 \qquad /\quad :(1+i)$

$(e^{iZ})^2-\frac{i}{1+i}4e^{iZ}+\frac{-1+i}{1+i}=0$

$(e^{iZ})^2-\frac{i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}4e^{iZ}+\frac{-1+i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=0$

$(e^{iZ})^2-(1+i)2e^{iZ}-\frac{(1-i)^2}{2}=0$

$\left[e^{iZ}-(1+i)\right]^2-(1+i)^2-\frac{(1-i)^2}{2}=0$

$\left[e^{iZ}-(1+i)\right]^2-i2+i=0$

$\left[e^{iZ}-(1+i)\right]^2=i$

Re: Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2 20.03.2007. u 02:01 · pre 238 meseci #9

Kasno sam došao sa fakulteta... Svaka čast!
Pokušavam evo da uradim i ovaj drugi zadatak...kod njega recimo ne možemo ''montiranjem'' da dobijemo kvadrat zbira, već dobijamo kvadratnu jednačinu sa kompleksnim članovima...
Dovde sam stigao i stao...
$\left( {e^{iZ} } \right)^2 - 3e^{iZ} (i + 1) - i = 0$
$Smjena:t = e^{iZ}$
$\left( {e^{iZ} - {{3 + \sqrt {14} } \over 2}} \right)\left( {e^{iZ} - {{3 - \sqrt {14} } \over 2}} \right) = 0$

Nisam provjeravao, ali trebalo bi da je u redu...
Da nema neko bar predlog i za ovaj zadatak?

Odoh u krevet...hmmmhhmmm.......

Pozdrav.

Potpis

Vidi bako, DžEDAJ!

Re: Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2 20.03.2007. u 10:38 · pre 238 meseci #10

Može i sa tim drugim zadatkom da se uradi to isto:

$(e^{iZ})^2-3e^{iZ}(i+1)-i=0$

$\left[e^{iZ}-\frac{3}{2}(i+1)\right]^2-\frac{9}{4}(i+1)^2-i=0$

i dalje to središ....

Ili u opštem slučaju:

$ax^2+bx+c=0$

$\left(\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c=0$

To je zapravo i put u izvođenje formule za izračunavanje kvadratne jednačine.

Re: Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2 20.03.2007. u 10:49 · pre 238 meseci #11

Došao sam 10 sekundi nakon što si ostavio post

Blago rečeno...zahvaljujem!

Pozdrav.

Potpis

Vidi bako, DžEDAJ!

Re: Komplexna analiza? sinZ + cosZ=2 22.03.2007. u 23:10 · pre 238 meseci #12

Da, isti postupak kao kod prvog zadatka, a reshenje je:
$z={3\pi \over 4}+2k\pi -i\ln ({3\pm\ \sqrt 7 \over \sqrt2})$

Potpis

.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme