Integrali za rješit

Integrali za rješit 22.03.2007. u 20:15 · pre 239 meseci #1

Imam problem sa integralima.
kako se rješavaju ovi integerali:

x2/(x2+4)dx i
x3/(a2-x2)dx

to su zadaci iz demidoviča (1068 i 1069) i ta dva tipa zadataka ne znam rješiti

pa ako ima koja dobra duša da mi pokaže postupak rješavanja.

btw: ima li negdje postupci na koji su rješeni zadaci iz demidoviča

Re: Integrali za rješit 22.03.2007. u 20:46 · pre 239 meseci #2

Prvi integral radiš na sledeći način:

$\int\frac{x^2}{x^2+4}dx=\int\frac{x^2+4-4}{x^2+4}dx=\int dx-\int\frac{4}{x^2+4}dx$

Integral $\int\frac{4}{x^2+4}dx$ posle sređivanja možeš napisati kao $2\int\frac{d\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\left(\frac{x}{2}\right)^2}$ , što je tablični integral i iznosi $2\arctan\frac{x}{2}$ .

Sa drugim integralom uradiš sledeće:

$\int\frac{x^3}{a^2-x^2}dx=-\int x\frac{x^2-a^2+a^2}{x^2-a^2}dx=-\int xdx-a^2\int\frac{xdx}{x^2-a^2}$

U integralu $\int\frac{xdx}{x^2-a^2}$ brojilac $xdx$ napišeš kao $\frac{1}{2}d\left(x^2\right)=\frac{1}{2}d\left(x^2-a^2\right)$ i time taj integral svedeš na tablični.

Re: Integrali za rješit 22.03.2007. u 20:59 · pre 239 meseci #3

Hajd da ja pokusam. Koliko vidim rijec je o integralima

$\int{\frac{x^2}{x^2+4}}dx$

$\int{\frac{x^3}{a^2-x^2}}dx$

Rjesenje prvog bi ovako nekako izgledalo:

$\int{\frac{x^2}{x^2+4}}dx=\int{\frac{x^2+4}{x^2+4}}dx-\int{\frac{4}{x^2+4}}dx=\int{dx}-\int{\frac{4}{x^2+4}}dx=x-4\frac{1}{2}\arctan{\frac{x}{2}}+C$
$\int{\frac{x^2}{x^2+4}}dx=x-2\arctan{\frac{x}{2}}+C$

Rjesenje drugog bi ovako nekako izgledalo:
$\int{\frac{x^3}{a^2-x^2}}dx=-\int{\frac{x(a^2-x^2)}{a^2-x^2}}dx+\int{\frac{a^2x}{a^2-x^2}}dx=-\int{x}dx+a^2\int{\frac{xdx}{a^2-x^2}}=-\frac{x^2}{2}+a^2\int{\frac{xdx}{a^2-x^2}}$

Treba naci integral
$\int{\frac{xdx}{a^2-x^2}}$

uvedemo smjenu $a^2-x^2=t\Rightarrow{xdx=-\frac{dt}{2}}$

sada je

$\int{\frac{xdx}{a^2-x^2}}=\int{\frac{-\frac{dt}{2}}{t}}=-\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t}}=-\frac{1}{2}\ln{|t|}$
nakon vracanja smjene dobijemo da je

$\int{\frac{xdx}{a^2-x^2}}=-\frac{1}{2}\ln{\Big |a^2-x^2} \Big|}$

Prema tome rjesenje pocetnog integrala je

$\int{\frac{x^3}{a^2-x^2}}dx=-\frac{x^2}{2}-\frac{a^2}{2}\ln{\Big |a^2-x^2} \Big|}+C$

Eto, valjda je to TO. Nadam se, da sam pomogao. Pozz

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Integrali za rješit 22.03.2007. u 21:00 · pre 239 meseci #4

Hehehe izgleda da smo u isto vrijeme rjesavali zadatke.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Integrali za rješit 22.03.2007. u 21:08 · pre 239 meseci #5

Eh Kolinse, kako ti uvek ubiješ ljudima želju da savladaju zadatke, time što im uvek pružiš na tacni ceo urađen zadatak.

Ovaj forum nije zamišljen da ljudi nauče da budu prepisivači, nego da im se objasni postupak ako negde zapne, ali da se i sami malo pomuče da dođu do rešenja. Slažeš se?

Re: Integrali za rješit 22.03.2007. u 21:15 · pre 239 meseci #6

Hmmmm, pa mozda si u pravu, a mozda i nisi. Ako neko ima zelju da na nauci, onda ce pogledati dio rjesenja, zatvoriti oci, i nastaviti raditi sam. Ovaj decko, ako sam dobro skontao, prvi puta radi int ovog tipa, pa sam i radi toga uradio ovo detaljno, da pokusa sam skontati fazon na koji se radi ovaj tip int. Sve ovo radim iz najbolje namjere, a ne zato sto je meni zanimljivo tipkati tex. ipak je to zamorno, slazes se? Dosta brze bi islo napisati to na papir, pa skenirati, ali nemam skener :D :)

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Integrali za rješit 27.03.2007. u 08:34 · pre 239 meseci #7

Hvala momci. Rješaval sam integrale i prije, ali sad se nisam mogo sjetit takvih "trikova". Rješil sam neke zadatke iz Demidoviča pa sad rješavam parcijalno pa ćemo se vjerojatno opet čuti.

Re: Integrali za rješit 01.10.2008. u 22:13 · pre 220 meseci #8

I meni treba vasa pomoc, kako se resava sledeci integral>

∫x^2/√(1-x^2 )dx

unapred hvala!!

Re: Integrali za rješit 01.10.2008. u 22:25 · pre 220 meseci #9

Smenom $x=\sin t$ (ili $x=\cos t$ ).

Re: Integrali za rješit 01.10.2008. u 23:54 · pre 220 meseci #10

Ili u brojiocu oduzmes 1 i dodas 1 pa podelis na 2 integrala od kojih je drugi arcsin(x) a prvi polutablican - moze se resiti parcijalnom intergracijom.

Ali manja muka ti je smenom koju ti je dao Danijel011. Ostane ti posle te smene x = sin(t)...integral od (sint)^2 koji resavas ili parcijalnom integracijom ili direktno primenom:
(sint)^2 = (1-cos(2t))/2 posle cega imas 2 elementarna integrala.

Resenje je: I = 1/2*(t) - 1/4*sin(2t) + C

Ajde sad ti sama vrati resenje da bude zavisno od x a ne od t.

Re: Integrali za rješit 02.10.2008. u 18:00 · pre 220 meseci #11

Hvala puno!!!

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme