Jos jedna lepa diofantska jednacina

Jos jedna lepa diofantska jednacina 10.03.2005. u 23:36 · pre 263 meseca #1

Pozdrav svima!

Evo jedne interesantne jednacine: x^5 = y^2 + 1. Resiti u Z.

Re: Jos jedna lepa diofantska jednacina 14.03.2005. u 14:39 · pre 263 meseca #2

Ja sam pokušavao elementarno ali nikako nisam tako uspeo da je rešim. Rešenje metodom "teške artiljerije" bi išlo otprilike ovako:

Imamo da je $x^5=(y+i)(y-i)$ . Pretpostavimo da činioci na desnoj strani imaju zajednički prost faktor $p$ u domenu $Z[i]$ . To bi značilo da taj faktor deli i njihovu razliku, tj. $p|2i$ , iz čega zaključujemo da je $|p|=2$ , a to bi značilo da $2|x^5$ , odnosno da je $x$ paran broj. Dakle, u tom slučaju bi leva strana bila deljiva sa $4$ , dok primenom jednostavne kongruencije imamo da desna strana pri takvom deljenju može davati ostatke $1$ , $2$ , ili $3$ , što je kontradikcija. Sledi da su $y+i$ i $y-i$ uzajamno prosti u domenu $Z[i]$ . Međutim, to dalje znači da je svaki od njih jednak petom stepenu nekog broja, odnosno:
$y+i=(a+bi)^5=a^5-10a^3b^2+5ab^4+i(5a^4b-10a^2b^3+b^5)$
Razmatranjem realnog i imaginarnog dela imamo:
$y=a^5-10a^3b^2+5ab^4$
$1=b(5a^4-10a^2b^2+b^4)$
Iz druge relacije sledi $b=\pm 1$ . Ako je $b=-1$ uvrštavanjem toga u drugu relaciju dobijamo $5(a^4-2a^2)=-2$ a to je očigledno nemoguće. Preostaje nam mogućnost $b=1$ i ubacivanjem ovoga u drugu relaciju imamo $5a^2(a^2-2)=0$ , iz čega neposredno sledi $a=0$ , pa smenom u prvoj relaciji imamo $y=0$ što znači da je jedino rešenje početne jednačine $(x,y)=(1,0)$ . Eto, prosto i jednostavno :)

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Diofantska jednačina 16.12.2006. u 01:04 · pre 242 meseca #3

Naći celobrojna rešenja jednačine $x^5-2y^2=1$

Re: Jos jedna lepa diofantska jednacina 16.12.2006. u 15:33 · pre 242 meseca #4

Evo ja sam malo cackao, i uspio sam dobiti jedno rjesenje, ali nisam siguran da je to i jedino.
Data jednacina se moze napisati u sljecem oblik:
$2y^2=x^5-1$
$2y^2=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$
Desna strana jednacine, treba da je pozitivan broj, pa imamo sljedece sisteme jednacina
1. $x-1=2\wedge{y^2=x^4+x^3+x^2+x+1}$
2. $x-1=y^2\wedge{2=x^4+x^3+x^2+x+1}$
3. $x-1=-2\wedge{-y^2=x^4+x^3+x^2+x+1}$
4. $x-1=-y^2\wedge{-2=x^4+x^3+x^2+x+1}$
Rjesavanjem sistema 1. imamo:
$x=3\wedge{y^2=81+27+9+3+1}\Rightarrow{(x_{1},y_{1})=(3,11)\wedge{(x_{2},y_{2})=(3,-11)}}$
Rjesavanjem sistema 2. imamo:
$x-1=y^2\wedge{x^4+x^3+x^2+x=1\Rightarrow{x(x^3+x^2+x+1)=1}}$ , odakle se vidi da druga jednacina nema cjelobrojnih rjesenja.
Rjesavanjem sistema 3. imamo:
$x=-1\wedge{y^2=-(x^4+x^3+x^2+x+1)=-(1-1+1-1+1)=-1}$ , odakle se vidi da y ne moze biti realno.
Rjesavanje sistema 4.
Iz prve jednacine imamo da je
$y^2=1-x\Rightarrow{x<0}$
druga jednacina postaje
$x^4+x^3+x^2+x=-3$
posto je $x^4>x^3$ i to je pozitivan broj, licno je i $x^2>x$ , i to je pozitivan broj, pa prema tome, ta jednacina nema rjesenja u skupu cijelih brojeva.
Valjda nisam pogrijesio u rezonu. Pozz

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Jos jedna lepa diofantska jednacina 16.12.2006. u 20:26 · pre 242 meseca #5

Nije mi baš jasno zašto si raspodelio činioce onako kako si ih raspodelio i nikako drugačije. Teoretski, ako je $y=pq$ (tj. bilo kakav složen broj), ništa nas ne sprečava da stavimo npr. $x-1=2p\land x^4+x^3+x^2+x+1=pq^2$ , što otvara mnoštvo dodatnih mogućnosti koje treba obraditi.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme