evo jedan zadatak iz (elementarne??) geometrije

pozdrav svima

Neka su dati kruznica k, prava p i tacka A van p. Na pravoj p konstruisati tacku P takvu da je |AP|=|PT|, gde je T dodirna tacka kruznice k i tangente na nju povucene iz P.

mozda gresim ali cini mi se kao jako tesko

ima li neko inspiraciju

Potpis

Keep On Keepin' On

Izgleda da mogucnost reshavanja zavisi od izbora tachaka A i T,kao i polozhaja prave p,pa povedi rachuna:)
Uglavnom,mislim da je moguce reshiti zadatak na sledeci nachin:

Spojish tachke A i T,nadjesh simetralu duzhi AT,iz te tachke (polovina duzhi AT) normalno na AT povuchesh liniju-mesto preseka sa pravom p daje tachku P.

Potpis

.

nisi pazljivo citao

tacka T nije data

tacka T je jednostavno dodirna tacka kruga i tangente koja se povlaci iz tacke P koju treba konstruisati

dakle treba naci P na zadatoj pravoj p takvu da je odstojanje od dodirne tacke na tangenti jednako odstojanju od zadate tacke A

nisam sposoban ovo da resim

Potpis

Keep On Keepin' On

ah

uz omanje konsultacije pojavilo se elegantno resenje

inverzija u odnosu na krug. preslikamo li tacku A inverzno u odnosu na k dobijamo tacku A'. buduci da inverzija ostavlja invarijantne kruznice koje su normalne na k, takva ce biti kruznica k' koja sadrzi A i A'.

sada se zadatak svodi na konstruisanje k' jer su u njenoj presecnoj tacki sa k poluprecinici od k i k' ortogonalni pa je ta tacka upravo tacka T tj taj polucprecnik od k' je upravo tangenta od k

zato je centar k' upravo trazena tacka P jer je tada |TP|=|PA|

da bismo konstruisali k' potrebna nam je jos jedna tacka, pa posto zelimo da P pripada p, jednostavno cemo A preslikati simetricno u odnosu na p i tako dobiti A''

tako je k' odredjena tackama A, A' i A'', tj P se nalazi u preseku prave p i simetrale duzi A'A''


evo radosti za one koji su se zainteresovali za ovaj zadatak (ukoliko ih ima)

Potpis

Keep On Keepin' On

Evo sličnog zadatka, rešenje prethodnog je stvarno lepo bila bi šteta da se brzo izgubi. :)

Zadatak 2:

Dato je: kružnica , tačka , ugao . Naći tačku takvu da je , gde je dodirna tačka kružnice i tangente na nju povučene iz , pri čemu je .

Kome je ovo lagano može da proba i malo zakomplikovanu verziju.

Zadatak 3:

Dato je: kružnice i , ugao . Naći tačku takvu da je , gde su i dodirne tačke kružnica i i tangenta na njih povučenih iz , redom, pri čemu je .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

evo na brzaka samo da odgovorim na prvi izazov drugi ce sacekati kad budem imao vise vremena

zadrzacemo iste oznake, samo je mala varijacija na temu, isto konstruisemo A' inverzijom na krug, uz tu razliku sto k' sada trazimo pod drugim uslovima

kako je prava AA' tetiva trazene kruznice, periferijski ugao nad njom ce biti jednak polovini centralnog, a centralni je upravo dati fi

stoga provlacimo kroz A proizvoljnu pravu, i na nju iz A' spustamo pravu pod uglom od fi/2, neka je njihov presek neka tacka A''

trazena tacka P je sada centar kruga k' odredjenog tackama A, A' i A''

treci zadatak ce dobiti tretman kasnije u toku veceri

Potpis

Keep On Keepin' On

ne valja bre ovo

fi je ugao nad tetivom AT, ne AA', brljam

sacekajmo veceras

Potpis

Keep On Keepin' On

jel moze ovako

ugao <A'TA je jednak polovini ugla <A'PA, jer su oni centralni i periferijski uglovi hipoteticne kruznice k'

analogno ugao <A'AT je polovina ugla <A'PT

kako je <A'PT + <A'PA = fi, to je <A'TA + <A'AT = fi / 2

pa je ugao <AA'T= pi - fi/2

dakle

inverzijom nalazimo A'

iz A' povlacimo pravu pod uglom pi - fi/2 u odnosu na pravu AA'

tacka T je tada presek ove prave sa kruznicom k

sada je trazena tacka P srediste kruznice k' odredjene tackama A, A' i T


da li sam opet nesto zabrljao?

Potpis

Keep On Keepin' On

Sad je OK (ako nisam i ja nešto prevideo). Ostaje treći zadatak (da napomenem, postoji i četvrti, za kraj ).

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

sve mi se nesto cini da resenje zadatka broj 3 (ko li ga je smislio) nije jednoznacno, vec ih avaj ima beskonacno

probacu da poduprem ovo

preslikajmo kruznicu k2 inverzijom u odnosu na k1, dobijamo kruznicu k2'. slika od PA, tangente k2, ce biti neka kruznica, obelezimo je sa Kpa, koja ce dodirivati k2' i prolaziti kroz centar inverzije O.

upravo u ovom trenutku mi se cini da lezi uzrok viseznacnosti resenja, jer izgleda da je izbor takve kruznice proizvoljan, dok god cela lezi unutar k1, a takvih ima i dalje beskonacno mnogo

slika tangente na k1, PT, bice takodje kruznica, obelezicemo je sa Kpt, koja iznutra dodiruje k1 u tacki T i prolazi kroz O, ali takodje se i sece sa Kpa pod uglom fi, jer ako se ne varam kruzna inverzija cuva uglove

konstrukcija dakle tece ovako, nakon sto smo preslikali k2 i uzeli proizvoljno Kpa (ali takvu da je unutar k1), povlacimo na nju tangentu t iz O, i zatim takodje iz O, pravu p pod uglom fi u odnosu na t

prava p je sada tangenta kruznice Kpt u tacki O, kruznice koja treba da dodiruje iznutra k1, pa zato povlacimo normalu na p u O i u njenom preseku sa k1 dobijamo tacku T

centar od Kpt je zato polovina duzi OT

druga presecna tacka tako dobijenih kruznica Kpa i Kpt (pored O koja i ionako ne figurise jer nema konacnu inverznu sliku) bice slika P' trazene tacke P, pa dakle resenje nalazimo inverznim preslikavanjem tacke P' u odnosu na k1

ukoliko ova prica ima smisla, najavljeni zadatak broj 4 bi mogao da glasi ovako:

koju krivu predstavlja geometrijsko mesto svih tacaka P sa trazenim svojstvima?

Potpis

Keep On Keepin' On

Ne valja baš. Nigde se nisi obezbedio da bude .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

mmmm da.. jes tacno

i k2 i k2' sadrze po tacku koja se nalazi na kruznici k' koju jurim da konstruisem, ali nista mi ne garantuje da je jedna od njih slika one druge, a to se mora desiti

znaci radio bih jos na ovome ali moram priznati da u ovom slucaju znatizelja nadjacava strpljenje

stoga ajde, cujmo resenje

fusnota: znaci li ovo da je resenje ipak jednoznacno?

Potpis

Keep On Keepin' On

Nema problema, onda ću odmah dati rešenje četvrtog zadatka, koji je samo uopštenje trećeg pa se ova konstrukcija može primeniti i na njega (a i na drugi, koji je specijalan slučaj trećeg).

Zadatak 4:

Dato je: kružnice i , ugao , realan broj . Naći tačku takvu da je , gde su i dodirne tačke kružnica i i tangenta na njih povučenih iz , redom, pri čemu je .

Rešenje:

Neka su i centri kružnica i , redom. Iz proizvoljne tačke na pravoj povucimo normalu na tu pravu. Iz proizvoljne tačke ove normale konstruišimo ugao (dve mogućnosti). Povucimo sada tangentu u tački , paralelnu sa , na kružnicu (dve mogućnosti); neka ova tangenta seče u . Odaberimo na pravoj tako da je . Nađimo sada na tako da je duž jednaka poluprečniku kružnice (dve mogućnosti). Sa centrom u i poluprečnikom , opišimo kružnicu koja seče u (dve mogućnosti). Kroz povucimo pravu paralelnu sa , i neka je njen presek sa tačka . Uočimo da je i da je . Iz povucimo pravu paralelnu sa ; s centrom u tački i poluprečnikom opišimo kružnicu, koja seče ovu pravu u tački . Pošto je, za odgovarajući izbor tačke , četvorougao paralelogram, kružnica koja prolazi kroz i s centrom u podudarna je s kružnicom , i nalazi se na istom rastojanju od kružnice . Dakle, dovoljno je rotirati tačke oko tačke za , i dobićemo tačke , redom.

Primetimo da ima ukupno šesnaest mogućnosti za ovu konstrukciju. Međutim, posle završne rotacije, neka rešenja će se poklopiti, ostavljajući nam ukupno osam različitih tačaka , u opštem slučaju. Evo slike jedne od njih.



Brzo smo rešili ove zadatke, nisu ni dospeli na listu nerešenih. :)

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Potrebna mi je pomoc oko zadatka za 6. razred za takmicenje.

U pravouglom trouglu ABC na hipotenuzi AB date su tacke M i N tako da je AM=AC i BN=NC. Odrediti ugao MCN.
Svaki savet bi mi znacio.



Hvala

Potpis

help me!