Granična vrednost

Granična vrednost 27.10.2006. u 17:09 · pre 244 meseca #1

Naći $\lim_{n\rightarrow\infty}F(n,n)$ gde je $F(m,1)=m$ i $F(m,k+1)=(m-k)^2+\frac{1}{2}F(m,k)$ za $k, m, n \in\mathbf{N}$

Re: Granična vrednost 03.11.2006. u 06:26 · pre 243 meseca #2

Lema 1. $S_n^1=\sum_{k=1}^n{k\over 2^k}=2-{n+2\over 2^n}$ .

Dokaz.
Sabiranjem jednakosti

$\begin{eqnarray*}S_n^1 &=&{1\over 2}+{2\over 2^2}+\ldots+{n\over 2^n}\\ 1-{1\over 2^n} &=&{1\over 2}+{1\over 2^2}+\ldots+{1\over 2^n}\end{eqnarray*}$

dobijamo

$S_n^1+1-{1\over 2^n}={2\over 2}+{3\over 2^2}+\ldots+{n+1\over 2^n}=2S_n^1+{n+1\over 2^n}-1$ tj. $S_n^1=2-{n+2\over 2^n}$ .

Lema 2. $S_n^2=\sum_{k=1}^n{k^2\over 2^k}=6-{n^2+4n+6\over 2^n}$

Dokaz.
Sabiranjem jednakosti

$\begin{eqnarray*}{(0+1)^2\over 2}&=&{0^2+2\cdot 0+1^2\over 2}\\ {(1+1)^2\over 2^2}&=&{1^2+2\cdot 1+1^2\over 2^2}\\ {(2+1)^2\over 2^3}&=&{2^2+2\cdot 2+1^2\over 2^3}\\ &\vdots &\\ {((n-1)+1)^2\over 2^{n}}&=&{(n-1)^2+2\cdot (n-1)+1^2\over 2^{n}}\\ {(n+1)^2\over 2^{n+1}}&=&{n^2+2\cdot n+1^2\over 2^{n+1}}\end{eqnarray*}$

dobijamo

${1\over 2}S_n^2=-{\left (n+1\right )^2\over 2^{n+1}}+S_n^1+1-{1\over 2^{n+1}}$

pa iz Leme 1. sledi

$S_n^2=-{\left (n+1\right )^2\over 2^{n}}+4-{2n+4\over 2^n}+2-{1\over 2^{n}}=6-{n^2+4n+6\over 2^n}$

Najzad možemo da se pozabavimo i samim zadatkom:

$F(n,n)=1^2+{1\over 2}\left (2^2+{1\over 2}\left (3^2+{1\over 2}\left (\ldots +{1\over 2}\left ((n-1)^2 +{n\over 2} \right )\ldots \right )\right )\right )=2S_{n-1}^2+{n\over 2^{n-1}}$

odakle odmah sledi $\lim_{n\to\infty}F(n,n)=12$ .

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Granična vrednost 03.11.2006. u 08:40 · pre 243 meseca #3

Lepo rešenje

Ja sam se bio opredelio za pravolinijsku varijantu: Smenom $F(m,k)=G(m,k)+Ak^2+Bk+C$ , gde su $A,B,C$ neodređeni koeficijenti (koji će, naravno, zavisiti od $m$ , ali ne i od $k$ ), može se dobiti $G(m,k+1)={1\over 2}G(m,k)$ , a tada se eksplicitno rešenje rekurzije lako dobija.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme