dokazati da je PMQN paralelogram

dokazati da je PMQN paralelogram 16.10.2006. u 11:40 · pre 244 meseca #1

Resavao sam ovaj zadatak i malo sam se zavrteo. Moze li pomoc? Zadatak: Nad stranicama konveksnog cetvorougla ABCD sa spoljasnje strane su konstruisani jednakostranicni trouglovi ABE, BCF, CDG i ADH. Ako su M,N,P,Q redom sredista duzi EG, HF, AC, BD dokazati da je cetvorougao PMQN paralelogram.

Re: dokazati da je PMQN paralelogram 16.10.2006. u 12:31 · pre 244 meseca #2

Lako se rešava preko kompleksnih brojeva, ali slutim da se traži geometrijsko rešenje.

Re: dokazati da je PMQN paralelogram 16.10.2006. u 15:33 · pre 244 meseca #3

Odrediš pravu koja prolazi kroz P i Q, i pravu koja prolazi kroz D i N. Ako se ne sijeku, onda su paralelne.
Isto uradiš i za P-N i Q-D parove tačaka.
Prava kroz dvije tačke se određuje:

Code:
y-y1 y2-y1
---- = -----
x-x1 x2-x1

P(x1,y1), Q(x2,y2)

Potpis

"I'd take the awe of understanding over the awe of ignorance any day."
- Douglas Adams

Re: dokazati da je PMQN paralelogram 16.10.2006. u 18:23 · pre 244 meseca #4

Mozes li malo da mi pomognes sa tim resenjem u vezi kompleksnih brojeva. Neka ideja ili nesto slicno.

Re: dokazati da je PMQN paralelogram 16.10.2006. u 18:24 · pre 244 meseca #5

Nemam koordinate tacaka da bih mogao da odredjujem prave.

Re: dokazati da je PMQN paralelogram 17.10.2006. u 00:01 · pre 244 meseca #6

U ravni četvorougla $ABCD$ postavimo proizvoljan pravougli koordinatni sistem, i neka u tom koordinatnom sistemu tačkama $A,B,C,D$ odgovaraju kompleksni brojevi $a,b,c,d$ (bez umanjenja opštosti, uzećemo da su temena $A,B,C,D$ pozitivno orijentisana). Neka je nadalje $\xi=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}=e^{i\pi/3}$ kompleksni šesti koren jedinice kojim se određuje rotacija za 60 stepeni u pozitivnom smeru. Tada pojedinim konstruisanim tačkama odgovaraju sledeći kompleksni brojevi:

$E := b+\xi(a-b)$
$F := c+\xi(b-c)$
$G := d+\xi(c-d)$
$H := a+\xi(d-a)$
$M := \frac{E+G}{2}=\frac{\xi a+(1-\xi)b+\xi c+(1-\xi)d}{2}$
$N := \frac{F+H}{2}=\frac{(1-\xi)a+\xi b+(1-\xi)c+\xi d}{2}$
$P := \frac{A+C}{2}=\frac{a+c}{2}$
$Q := \frac{B+D}{2}=\frac{b+d}{2}$

Stoga vektoru $\overrightarrow{PN}$ odgovara kompleksni broj $N-P=\frac{-\xi a+\xi b-\xi c+\xi d}{2}$ , a vektoru $\overrightarrow{MQ}$ odgovara kompleksni broj $Q-M=\frac{-\xi a+\xi b-\xi c+\xi d}{2}$ . Očigledno, $\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MQ}$ , što znači da je četvorougao $PMQN$ paralelogram.

Re: dokazati da je PMQN paralelogram 17.10.2006. u 12:04 · pre 244 meseca #7

H v a l a !!!

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme