Ok, ide ovako:
Mozemo se ograniciti na konacne skupove tacaka. :)
Prvo neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ace327a3e8e417bfad6a8248c8d0a794.png)
, neki skup razlicitih tacaka (
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9e8847accb5153e6c8b7dc31b0e7eba4.png)
) i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4d362abce1a89bd29917f8f109a9992c.png)
skup svih pravih koje su odredjenje elementima skupa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ace327a3e8e417bfad6a8248c8d0a794.png)
(jel ovako ok? :)). Skup
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ace327a3e8e417bfad6a8248c8d0a794.png)
ima svojstvo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5c87c0b679c431aa3fe4e68d1a06e52c.png)
, ako nisu sve tacke iz tog skupa kolinearne.
Dokazac1emo obicnom indukcijom po
![](https://static.elitesecurity.org/tex/318568d83423b4bd0f991034fc374301.png)
da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e1eccc94c07410f1da08fce8d35439a5.png)
, za svaki skup
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ace327a3e8e417bfad6a8248c8d0a794.png)
koji poseduje svojstvo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5c87c0b679c431aa3fe4e68d1a06e52c.png)
(izostavicemo slucajeve
![](https://static.elitesecurity.org/tex/daafe43b20472cbfd59d9915704561bc.png)
, jer su trivijalni).
baza indukcije: Za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c43f6f7c4190723865ebd7fa5ac730a0.png)
. Prostom analizom slucajeva vidimo da vazi data nejednakost. :)
ind. pretpostavka: Neka za svaki skup tacaka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ace327a3e8e417bfad6a8248c8d0a794.png)
koji ima
![](https://static.elitesecurity.org/tex/316b1bbd455604a9024a64bf27ad1720.png)
elemenata i poseduje svojstvo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5c87c0b679c431aa3fe4e68d1a06e52c.png)
vazhi data nejednakost.
ind. korak: Dokazimo da sada za svaki skup tacaka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/61c2bc68c49bcf4fb53b1b401a8ce7d7.png)
koji ima
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d280d8a07c22ccbc61ff0582d970b34f.png)
element i poseduje svojstvo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5c87c0b679c431aa3fe4e68d1a06e52c.png)
vazi data nejednakost.
U tom slucaju mozemo iz skupa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/61c2bc68c49bcf4fb53b1b401a8ce7d7.png)
mozemo izdvojiti podskup koji ima
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bd2b320696c94ea17dd122cd137b965c.png)
elemenata i poseduje svojstvo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5c87c0b679c431aa3fe4e68d1a06e52c.png)
(u suprotnom bi svakih
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bd2b320696c94ea17dd122cd137b965c.png)
tacaka iz toga skupa lezale na jednoj pravoj, pa bi i sve tacke skupa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/61c2bc68c49bcf4fb53b1b401a8ce7d7.png)
lezale na jednoj pravoj zbog
![](https://static.elitesecurity.org/tex/316b1bbd455604a9024a64bf27ad1720.png)
, sto bi bila kontradikcija). Neka je ostala tacka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/162e17683e44ac666fd1765a4dc8732f.png)
posle izdvajanja skupa od
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bd2b320696c94ea17dd122cd137b965c.png)
tacaka sa svojstvom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5c87c0b679c431aa3fe4e68d1a06e52c.png)
iz skupa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/61c2bc68c49bcf4fb53b1b401a8ce7d7.png)
. Po induktivnoj pretpostavci je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7ad80f0858dfa683646e759bf32202d0.png)
. Sada je dovoljno dokazati da tacka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/162e17683e44ac666fd1765a4dc8732f.png)
sa nekom od preostalih tacaka obrazuje pravu koja nije element
![](https://static.elitesecurity.org/tex/702ff73905b7b4c264ed94d86bb22f85.png)
. Pretpostavimo suportno tj. da svaki element skupa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/702ff73905b7b4c264ed94d86bb22f85.png)
sadrzhi tacku
![](https://static.elitesecurity.org/tex/162e17683e44ac666fd1765a4dc8732f.png)
. Kako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/316b1bbd455604a9024a64bf27ad1720.png)
to je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/95eb33ed5d1fa163fa7f8fc93f05291b.png)
, pa postoje tri nekolinearne tacke iz skupa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bed40765bef6cfc695a6ddeed875935f.png)
. Neka su to
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7ffaa9deaa491e771c8f5ba175381f6a.png)
. Po pretpostavci vazhi da prave
![](https://static.elitesecurity.org/tex/cdca522eb3ca5e0ea2920bb833a2b8cc.png)
sadrze tacku
![](https://static.elitesecurity.org/tex/162e17683e44ac666fd1765a4dc8732f.png)
, pa se one seku u jednoj tacki. Ovo je kontradikcija jer te prave sadrze stranice trougla
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f99f08df3914f37c7b3b2d1bfa329dd5.png)
(svojstvo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5c87c0b679c431aa3fe4e68d1a06e52c.png)
).
Znaci bar jedan od elemenata skupa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/dd3454a353dc847dd7f9f5c0d2836603.png)
ne sadrzi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/162e17683e44ac666fd1765a4dc8732f.png)
, pa vazhi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a86fff5b30692f6dcd9e86dbcf22c13a.png)
.
Ovim je dato tvrdjenje dokazano.