zadatak iz polinoma

Ako postoje uzajamno prosti polinomi i (iz )takvi da je za neke vazi , onda je .


Ako stavimo a=b=c=n i x=0, dobijamo Veliku Fermaovu teoremu.

slatko???

Teško da mi to možemo ovde dokazati. Glavni kamen spoticanja nije Velika Fermaova teorema (iako si pokazao da Zadatak nju implicira, možda bi se moglo pokazati i obrnuto, tj. da ona implicira Zadatak što bi bilo sasvim legitimno rešenje jer je ona dokazana i sme se kao takva koristiti). Ono što nam ovde zaista pravi problem je što Zadatak implicira i jedan prilično težak otvoren problem, Beal's Conjecture.

Zaista, neka smo dokazali tvrđenje. Pretpostavimo da postoje i za koje je takvi da je . U tom slučaju je , što je u suprotnosti sa Zadatkom za , , , , , .

Nego, zanima me da li je ovo nešto za šta se veruje da je tačno ili ti je palo na pamet? Ako je ovo drugo javi, pa možda možemo naći kontraprimer.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Pa ja mislim da je ovo tacno jer je danas na dodatnoj Dusan Djukic dokazao ovo. Manje-vise sam skontao, pa ako nekog zanima iznecu dokaz.

E, ako možeš bilo bi super da vidimo dokaz (ako se ne sećaš celog i samo smernice bi pomogle), koliko poznajem Đukića on zna šta priča.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Neka su





\newcommand{\nzd}{\mathop{\mathrm{nzd}}}\nzd\left(P(x),Q(x),R(x)\left)=1

i neka su





važi



ali



_{priznajem da sam možda malo zloupotrebio nepreciznost postavke...}

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Glavna fora je u tome sto se koristi sledeca lema:

Neka su i uzajamno prosti polinomi takvi da je .

Onda je .


Ova lema se primeni na polinome i i dobija se zadatak.


E sad dokaz ideo nekako ovako: Neka je , slicno i za .

Imamo da je . Sada obe strane diferenciramo i dobija se nesto oblika , pa posto su A i C uzajamno prosti posle svodjenja na zajednicki A je ovo gore, a C je dole. Samo sto ovo nisam prepisao. Posle ovoga sledi i lema.


Sada neka neko dopuni ovaj dokaz.

Možda sam nešto prevideo, ali gde tačno si zloupotrebio nepreciznost postavke? Meni ovo deluje kao sasvim legalan kontraprimer.

@qzqzqz:
Više stvari mi nije jasno pa ću da krenem sa jednom po jednom.

Nigde nismo rekli da su A i C uzajamno prosti, rekli smo samo da je . Verovatno si hteo da u formulaciji kažeš da su uzajamno prosti po parovima (to znači da su svaka dva od njih uzajamno prosti), da li sam u pravu?

I dalje ne vidim kako, možeš li još malo da pojasniš?

Ovo mi deluje najnelogičnije. Evo jednog kontraprimera, pa ti vidi šta nije u redu (čak i ako usvojimo moju prvu ispravku).

Neka je . Ovi polinomi su uzajamno prosti (štaviše, po parovima), i važi da je , pa je ipak .

Da li imaš slučajno zabeleženo još nešto ili se sećaš još nečega što nisi pomenuo a moglo bi da razjasni ove nedoumice?

Hoćeš li da pitam Đukića šta je tačno predavao pa da javim?

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Pa u pravu si, najbolje je da njega pitas, a ne da ja dajem polu-tacne informacije.

Znao sam da ću se kajati zbog ovoga
Pitanje je sasvim na mestu, međutim ja sam se krajnje neprecizno izrazio...

Kontraprimer je sasvim u redu pod uslovom da je formulacija tvrđenja upravo onakva kako ju je qzqzqz i napisao. Aludirao sam na to da tvrđenje(?) možda treba posmatrati do na neke trivijalne slučajeve.

Što se tiče same leme, ukoliko se dokaz glavnog tvrđenja bitno oslanja na strogu nejednakost - onda je ona smena potpuno nekorektna, jer kao što vidimo lema (u sadašnjoj formi) ne važi za ne-nula konstantne polinome.

Meni se čini da kada uzmemo da je a pri tom i da su onda polinomi uzajamno prosti i po parovima.

Onaj deo sa izvodima mi deluje veoma sumnjivo - ako ništa drugo, mislim da bi bilo neophodno dokazati i da su i uzajamno prosti - pre nego što izvučemo zaključak i . Nažalost, ključni problem nastaje mnogo ranije - naime ako smo već uzeli da je tj. onda diferenciranjem obe strane identiteta ne možemo ni očekivati da dobijemo nešto korisno. Zaista posle sređivanja (imajući u vidu ) dobijamo:

.

Sve u svemu, nije mi ni izbliza jasna veza između leme i glavnog tvrđenja.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Evo tacnog tvrdjenja zadatka i leme(zadatak 13.)


http://www.matf.bg.ac.yu/~mati...ne/polinomskejednacine_ddj.pdf

Sinoć mi je poslao link ka tome kad sam ga pitao za tačnu formulaciju i rešenje i jutros sam čitao ali nisam uspeo da razumem neke stvari, recimo zašto je koeficijent uz vodeći stepen polinoma po pretpostavci jednak jedinici?


Ovde si u pravu, nisam obratio pažnju na to.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Moram da priznam da je rešenje zaista prelepo

...dakle, ono diferenciranje je ipak donelo neke korisne informacije - jedino što zaključak nije obavezno , već (a to je sasvim dovoljno) .

Nemam nikakve zamerke na rešenje (s tim da je u formulaciji i zadatka i leme trebalo naglasiti da se radi o polinomima stepena barem 1).

@Bojan Bašić:

To što su svi polinomi monični - mislim da nije nikakav problem, jer (koliko vidim) dokaz leme bi tekao isto i u protivnom.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}