Hitno potrebna pomoć oko nejednakosti.

Hitno potrebna pomoć oko nejednakosti. 02.06.2006. u 23:15 · pre 248 meseci #1

Dokazati nejednakost:

$\frac{|x-y|}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}+\frac{|y-z|}{\sqrt{(1+y^2)(1+z^2)}}\geq \frac{|x-z|}{\sqrt{(1+x^2)(1+z^2)}}$
Dokazati na što jednostavniji način.

Unapred hvala.

poz.

Re: Hitno potrebna pomoć oko nejednakosti. 02.06.2006. u 23:44 · pre 248 meseci #2

Izračunaj lijevu stranu nejednakosti (nađi zajednički pa sve pokrati) i to ti je to (manje više). Potrudi se malo. Nije teško. Fora je u ovom kvadratu ispod korijena (sjeti se da je 1^2=1).

Potpis

You rule this town like God rules the world. You give and you take away.

Re: Hitno potrebna pomoć oko nejednakosti. 02.06.2006. u 23:55 · pre 248 meseci #3

Pa pokušao sam već to. Dobije se:
$|x-y|\sqrt{\frac{1+z^2}{1+y^2}}+|y-z|\sqrt{\frac{1+x^2}{1+y^2}}\geq|x-z|$
Šta dalje? Ajde ako znaš napiši rešenje pošto mi je hitno.

poz.

Re: Hitno potrebna pomoć oko nejednakosti. 03.06.2006. u 20:10 · pre 248 meseci #4

Ocigledno da ni on sam ne zna....

Potpis

®.....sve ove ruke mogu,sve ovo srce zna, ne boj se gaziti ponosno i gledaj kako to radim ja....

Re: Hitno potrebna pomoć oko nejednakosti. 03.06.2006. u 21:58 · pre 248 meseci #5

Ja sam radio ovako, ali ne tvrdim da ne postoji i neko kraće i jednostavnije rešenje:

Izraz do koga si došao pomnožimo sa $\sqrt{1+y^2}$ :
$|x-y|\sqrt{1+z^2}+|y-z|\sqrt{1+x^2}\geq|x-z|\sqrt{1+y^2}$
Pošto je očigledno da su i leva i desna strana nejednakosti pozitivne, možemo ih obe kvadrirati bez narušavanja nejednakosti:
$(x-y)^2(1+z^2)+(y-z)^2(1+x^2)+2|(x-y)(y-z)|\sqrt{(1+x^2)(1+z^2)}\geq(x-z)^2(1+y^2)$
Kad sve to izmnožimo i sredimo dobije se:
$xz+xzy^2-xy+y^2+x^2z^2-xyz^2-yz-x^2yz\geq-|xy-y^2-xz+yz|\sqrt{(1+x^2)(1+z^2)}$
$xz(1+xz)+y^2(1+xz)-xy(1+xz)-yz(1+xz)\geq-|xy-y^2-xz+yz|\sqrt{(1+x^2)(1+z^2)}$
$(1+xz)(xz+y^2-xy-yz)\geq-|xy-y^2-xz+yz|\sqrt{(1+x^2)(1+z^2)}$
ili, kad obe strane pomnožimo sa $-1$ :
$(1+xz)(xy-y^2-xz+yz)\leq|xy-y^2-xz+yz|\sqrt{(1+x^2)(1+z^2)}$
Desna strana nejednačine je uvek pozitivna. Leva strana može biti i pozitivna i negativna. U slučaju da je negativna, nejednačina je automatski zadovoljena. U slučaju da je pozitivna, možemo kvadrirati obe strane bez narušavanja nejednakosti:
$(1+xz)^2(xy-y^2-xz+yz)^2\leq(xy-y^2-xz+yz)^2(1+x^2)(1+z^2)$
$(1+xz)^2\leq(1+x^2)(1+z^2)$
$1+2xz+x^2z^2\leq1+x^2+z^2+x^2z^2$
$0\leq{x^2-2xz+z^2}$
$0\leq(x-z)^2$

Re: Hitno potrebna pomoć oko nejednakosti. 04.06.2006. u 18:03 · pre 248 meseci #6

Ja sam takodje resio na isti nacin... A isti mi i deluje kao najprirodniji

Potpis

Don’t do drugs, sleep deprivation is better.

Re: Hitno potrebna pomoć oko nejednakosti. 04.06.2006. u 20:42 · pre 248 meseci #7

Jedino me buni na šta li je zbokanov mislio kad je rekao da je 1^2=1. Možda je mislio na to da pod korenom dobijemo zbir kvadrata? Ali šta s tim dalje?

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme