Čudan slučaj sa imaginarnom jedinicom...

Neka je i=sqr(-1).

1. i=i
2. sqr(-1)=sqr(-1)=sqr(-1/1)=sqr(1/-1)=sqr(1)/sqr(-1)
3. sqr(-1)*sqr(-1)=sqr(1)
4. -1=1

Gde je greška?

Koren iz -1 nije samo i nego i -i! Kompleksni koren...

Koliko se sećam na ESu je bilo par tema na ovaj fazon da se preko i dolazi do izraza 1=-1!

_{[Ovu poruku je menjao del-boy dana 29.03.2006. u 13:52 GMT+1]}

Zanimljiv štos, jedino mi nikako nije jasno kako si iz 3. koraka stigao do 4.?
Razumeo sam sve do 3. koraka, ali iz 3. uopšte ne uspevam da vidim zašto bi -1 trebalo da bude jednako 1?

Objašnjenje za 3. korak:

3.a. sqr(-1)*sqr(-1)=1
3.b. i*i=1
3.c. -1=1

ovo nije jednako "sqr(1/-1)=sqr(1)/sqr(-1)"
leva strana je a desta
racionalisi desnu stranu i dobices sqr(-1)/(-1) i to je

edit: i*i=-1

_{[Ovu poruku je menjao mmwc dana 30.03.2006. u 11:59 GMT+1]}

Da li to znači da ne važi sledeća jednakost:

sqr(a/b)=sqr(a)/sqr(b) ?

ili da ne važi

(-a)/b=a/(-b)?

Tačno, očigledno je, ali mi je nekako promaklo.
Inače slažem se sa onim što kaže del-boy da može biti i i .

Očigledno je da nije jednako, ali u čemu je greška u tom izrazu? Koren količnika dva broja valjda jeste jednak količniku korena ta dva broja.

uzmi papir i olovku i probaj
sqr(1)/sqr(-1) pomnozi sa sqr(-1)/sqr(-1) i dobijes iznad razlomacke crte sqr(-1) sto je jednako i, a ispod razlomacke crte sqr(-1)*sqr(-1) sto je jednako -1 pa je rezultat celog razlomka -i

To definitivno nije sporno, ali ja samo pitam u čemu je greška ako se napiše da je ?

Takođe, uvek me bunilo i koliko je zapravo :



ali, takođe je:

Ja cu samo ovo reci i onda se povlacim iz diskusije, jer sam u zivotu puno zivaca izgubio objasnjavajuci ovu istu stvar i ne zelim po ko zna koji put da prolazim kroz sve to ispocetka. Uglavnom:

Ne sme se reci , vec samo !!

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Matematika nije TABU nauka pa da nešto zabranjuje. Može se reći da nešto MOŽE da se uradi (i zašto može) ili NE MOŽE da se uradi (i zašto ne može). A sada jedno malo pitanje čije rešenje će nas približiti odgonetki:
U izrazu
y=sqrt(x**2) (kvadratni koren od x na kvadrat) koji je redosled operacija: da li se prvo radi kvadriranje pa korenovanje, korenovanje pa kvadriranje ili je to svejedno?

Logičnije je da se u ovom konkretnom slučaju prvo radi kvadriranje, s obzirom da je ovde kvadriranje navedeno u okviru argumenta funkcije korenovanja.

Nego, ja sam upravo dokazao da je 1=0 ! :-)
(Molim vas da ovo shvatite isključivo kao šalu i nikako drugačije):

Pošto je , sledi



Sada nađemo :



(Prvo u gornjem izrazu je zamenjeno izrazom , a drugo izrazom , jer , kao što smo rekli, može biti i jedno i drugo.)

Iz ovoga sledi da je !

Samim tim je i , a pošto je po definiciji , odatle je . Ako obe strane jednačine pomnožimo sa , dobijemo !

Pa dakle, Bojan je (ispravno) tvrdio da nije tačno nego da se mora reći .

U tome je i suština greške u Lobačevljevom početnom postu: Naime, u izrazu PREĆUTNO je uzeto da jedan kvadratni koren ima vrednost , a drugi . Naravno, to je logički moguće (ne postoji zakon protiv međusobnog množenja svih različitih vrednosti određenog korena), ali, međutim, ne odgovara definiciji kvadriranja, gde se jedna te ISTA vrednost mora množiti sama sa sobom.

Takođe, u malopređašnjem postu, operacija "množenje određene vrednost brojem 2" po definiciji je ekvivalentna dodavanju te iste vrednosti samoj sebi, te se - naravno! - ne može pisati

(Greška je, dakle, slična ovome: )

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 30.03.2006. u 21:17 GMT+1]}

Nije baš sasvim tako kako kaže Farenhajt, ali LIČI! Problem je što se u koraku

sqr(-1/1)=sqr(1/-1) prećutno uzima da je sqr(-1)*sqr(-1)=1, a u poslednjem koraku se uzima da je sqr(-1)*sqr(-1)=-1. Oba tvrđenja su tačna, ali se ne mogu uzimati različita rešenja u isto vreme, npr. kao što iz
1=1
sledi da je
sqr(1)=sqr(1)
+-1=+-1
ali se odavde ne može tvrditi da je +1=-1

napomena:

sqr(-1/1)=sqr(-1)/sqr(1)= (sqr(-1)/sqr(1))*(sqr(-1)/sqr(-1))=
=sqr(-1)*sqr(-1)/(sqr(1)*sqr(-1))= sqr(-1)*sqr(-1)/sqr(-1)

vrednost izraza sqr(-1)*sqr(-1) mora biti konzistentna tokom čitavog procesa rešenja problema, t.j. uzima se ILI vrednost 1 ILI -1.

_{[Ovu poruku je menjao Lobacev dana 31.03.2006. u 08:25 GMT+1]}

To je zato što se samo mućka sa izrazima, a da se ne zna šta zapravo znači šta.

Postoje različiti kvadratni koreni u matematici. Analitički koren je funkcija koja slika nenegativne realne brojeve u nenegativne realne brojeve. Za nenegativne realne brojeve važi Algebarski koren iz nekog kompleksnog broja je bilo kouji kompleksan broj čiji je kvadrat upravo taj dati broj. Postoje tačno dva kvadratna korena iz bilo kog kompleksnog broja različitog od nule. Tu se ne može primenjivati pomenuta formula. Slično važi i kod kompleksnog kvadratnog korena, bez obzira da li se radi na dvolisnoj površi ili na jednostruko povezanoj oblasti kojoj ne pripada nula. Bojan je u pravu kada kaže da izraz nema previše smisla, a ako se kompleksni koren korektno uvede (na dvolisnoj površi ili jednostruko povezanoj oblasti koja isključuje nulu), onda neće važiti isti algebarski zakoni bez ograničenja.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Dakle, ako ti neko, u okviru neke teorije, kaže da nešto ne smeš da uradiš, a zatim ti to i dokaže (kaže ti zašto ne smeš to da uradiš), onda ti je faktički zabranio da to uradiš. To i dalje ne znači da je matematika tabu nauka. Naprotiv, baš zbog toga je matematika vrlo otvorena prema različitim mišljenjima. Ako nešto tvrdiš, pa uz put to i dokažeš... daleko ćeš dogurati.

Potpis

potpis

Sasvim jednostavno i korektno objašnjenje, bez korišćenja "teške artiljerije".

Lepa tema, pa da se malo podsetimo...