Korensko polje - ko zna algebru?

Korensko polje - ko zna algebru? 07.03.2006. u 19:21 · pre 251 mesec #1

Molim vas sve koji mozete - napisite nesto.

Izmedju ostalog, za domaci treba da nadjem korensko polje K polinoma
$x^6 - 6x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x -4$
kao i stepen rasirenja [ K : Q ]

Nije mi jasno cemu toliko forsiranje ovakvih stvari! Osim ako nema neka fora koju ja ne znam

Moze li mi neko reci da li postoji neki nacin na koji se ovo trazi, a da nije nalazenje nula polinoma (sto u ovom slucaju ne znam ni da li je moguce)?

(Inace, dve realne nule su $\sqrt[3]{2} + \sqrt{2} , \sqrt[3]{2} - \sqrt{2}$ i neke cetiri kompleksne, ne znam koje)

Stvarno, bas se nerviram!

Re: Korensko polje - ko zna algebru? 11.03.2006. u 14:40 · pre 251 mesec #2

Podijeli taj polinom sa x-x1 pa onda sa x-x2 (gdje su xi nule kje si nasla) i dobices polinom cetvrtog stepena kome bi trebala lakse da nadjes jednu kompleksnu nulu onda je druga konjugovana, onda opet podijelis sa te dvije nule i dobijes polinom drugog stepena...

Potpis

Reko mi tvoj brat da studiras za programatora!

Re: Korensko polje - ko zna algebru? 11.03.2006. u 19:09 · pre 251 mesec #3

To sam prvo i pokusala. Ali ne ide. Hvala u svakom slucaju :)

Re: Korensko polje - ko zna algebru? 25.04.2006. u 16:18 · pre 249 meseci #4

Hajde da prvo nađemo polinom kojeg će poništiti naš broj a= $\sqrt[3]{2} + \sqrt{2}$ . Tada važi
$a-\sqrt{2}=\sqrt[3]{2} \quad \Leftrightarrow \quad a^3+3a\cdot 2-\sqrt {2} (3a^2-2)=2$ tj
$a^3+6a-2=\sqrt{2}(3a^2+2) \quad \Leftrightarrow \quad a^6+12 a^4-4 a^3+36 a^2-24 a +4=2(9 a^4+12 a^2 +4)$ odnosno
$a^6-6 a^4 -4 a^3+12 a^2-24 a-4=0$

Da smo posmatrali $\sqrt[3]{2} - \sqrt{2}$ , sa desne strane bi smo dobili $-\sqrt{2}(3a^2+2)$ , no posle kvadriranja minus bi se izgubio, te bi smo dobili isti polinom.

Da li bi smo umesto $\sqrt[3]{2}$ mogli da stavimo neki drugi broj, koji bi posle kubiranja opet dao dva? Koja
su rešenja jednačine $x^3=2$

Na kraju se svede na jednačine tipa $z^n=1$ . Njihova rešenja su brojevi $z_{n,k}=e^{\frac{2k\pi i}{n}}$
Obeležimo sa $\varepsilon_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$ . Tada je $z_{n,k}=\varepsilon_n^k$ .

Rešenja naše jednačine su
$x_{1,2}=\sqrt[3]{2} \pm \sqrt{2} \quad , \quad x_{3,4}=\varepsilon \sqrt[3]{2}\pm \sqrt{2}\quad , \quad x_{5,6}=\varepsilon^2 \sqrt[3]{2}\pm \sqrt{2}$
Gde je $\varepsilon =\varepsilon_3=e^{\frac{2\pi i}{3}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}$

Korensko polje K=Q[ $x_1,\dots, x_6$ ]=Q[ $\sqrt{2},\sqrt[3]{2},\varepsilon$ ].

Prethodnu tvrdnju treba dokazati, a to me mrzi.(Nisam na ispitu). Potreban & dovoljan uslov je da $\sqrt{2},\sqrt[3]{2},\varepsilon$ pripadaju korenskom polju, i da rešenja jednačine pripadaju ovom drugom polju.

Za kraj |K:Q|=|K:L1||L1:L2||L2:Q| gde je L1=Q[ $\sqrt[3] 2,\sqrt 2$ ], L2=Q[ $\sqrt 2$ ], te samim tim
|K:Q|=12
Pri tom treba dokazati da
|L2:Q|=2 (trivijalno)
L1 je potpolje od K (trivijalno)
|K:L1|>1 (jer K ima complex brojeve u sebi, L1 nema),
|K:L1| $\le$ 2 (postoji polinom drugog stepena iz L1[x] koji poništava $\varepsilon$ ) (isto trivijalno)
L2 je potpolje L1 (trivijalno)
|L1:L2| $\le$ 3 (postoji polinom trećeg stepena iz L2[x] koji poništava $\sqrt[3] 2$ )(opet trivijalno)
|L1:L2|>2 (ne postoji polinom drugog stepena iz L2[x] koji poništava $\sqrt[3] 2$ )(Naporno)

Kao što se može videti ČISTI ŠABLON.

PS Znam da je prošlo mnoooogo vremena, ali možda ipak posluži.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme