Transcendentnost brojeva

Transcendentnost brojeva 22.12.2005. u 22:46 · pre 253 meseci #1

1. Neka je $\{p_n\}_{n \in N}$ niz svih prostih brojeva. Da li je broj $\alpha = \sum_{n=1}^{\infty} 10^{-p_n}$ transcendentan?

2. Neka je $\{F_n\}_{n \in N}$ Fibonačijev niz s početnim vrednostima $F_1=1, F_2=2$ . Da li je broj $\beta = \sum_{n=1}^{\infty} 10^{-F_n}$ transcendentan?

3. Neka je $\{a_n\}_{n \in N}$ bilo kakav beskonačan monotono rastući niz prirodnih brojeva. Da li je broj $\gamma = \sum_{n=1}^{\infty} 10^{-a_n}$ algebarski ako i samo ako je racionalan?

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 23.12.2005. u 00:02 GMT+1]}

Re: Transcendentnost brojeva 10.03.2006. u 02:41 · pre 251 meseci #2

Najpre navodim jednu teoremu [1].

Teorema:

Neka je $\sigma(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_nz^{c_n}$ , gde je $\{c_n\}$ monotono rastući niz prirodnih brojeva, a $\alpha_n\ (n=1,2,\dots)$ su nenula racionalni brojevi. Neka je $M_n$ najmanji zajednički imenilac brojeva $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ . Pretpostavimo da važi $|\alpha_n|\leq|\beta_n|$ za sve dovoljno velike $n$ , gde su $\beta_n\ (n=1,2,\dots)$ realni brojevi koji zadovoljavaju $|\beta_{m+n}|\leq K|\beta_m||\beta_n|\ (m,n=1,2,\dots)$ za neku konstantu $K$ . Pretpostavimo dalje da je $\limsup_{n\to\infty}\frac{c_n}{c_{n+1}}=M<1$ , $\lim_{n\to\infty}\frac{\log M_n}{c_n}=0$ . Tada je $\sigma\Big(\frac p q\Big)$ transcendentan za sve cele brojeve $q\geq 2$ i $p$ koji zadovoljavaju $(p,q)=1,\ |p|\leq q^{\delta}$ , gde je $\delta$ dat pozitivan broj za koji važi $\delta<1-M$ .

Najpre ćemo odabrati vrednosti tako da možemo primeniti Teoremu u situaciji koju imamo. Neka je:
$\alpha_n\equiv 1$
$p=1$
$q=10$
Možemo uzeti $\beta_n\equiv 1,\ K=1$ , pa $\beta_n$ ispunjava traženi uslov i zaista važi $|\alpha_n|\leq|\beta_n|$ za dovoljno veliko $n$ (štaviše, važi za sve $n$ ). Kako pri ovako odabranim vrednostima važi $M_n\equiv 1$ , sledi da je $\log M_n\equiv 0$ , pa je ispunjeno i $\lim_{n\to\infty}\frac{\log M_n}{c_n}=0$ . Dakle, možemo formulisati posledicu koja delimično odgovara na pitanje broj 3.

Posledica:

Neka je $\{c_n\}$ monotono rastući niz prirodnih brojeva za koji važi $\limsup_{n\to\infty}\frac{c_n}{c_{n+1}}<1$ . Tada je broj $\sum_{n=1}^{\infty}10^{-c_n}$ transcendentan.

Primetimo da iz Posledice trivijalno sledi da je odgovor na pitanje broj 2 potvrdan, s obzirom na to što je $\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n+1}}=\frac 1{\varphi}<1$ , gde je $\varphi$ zlatni presek.

Nažalost, ovaj pristup nam neće mnogo pomoći za pitanje broj 1 jer je malo verovatno da je $\limsup_{n\to\infty}\frac{p_n}{p_{n+1}}<1$ budući da bi to oborilo mnoge hipoteze za koje se veruje da su tačne, kao što je na primer čuvena Twin Prime Conjecture.

[1] Zhu,Yao Chen & Ren, Jian Hua, The transcendence of the values of certain gap series at rational points, J. Northwest Univ. 12 (1982), no. 4, 1–8.

Potpuno sam svestan da ovo nije odgovor kakav bi iko želeo da vidi. S druge strane, tema stoji već duže vreme bez ikakvog napretka pa smatram da je makar i ova priča bolja od ćutanja.

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 09.06.2006. u 14:25 GMT+1]}

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

3.png391.12k

Re: Transcendentnost brojeva 28.03.2006. u 10:54 · pre 250 meseci #3

Citat:

Bojan Basic:
Nažalost, ovaj pristup nam neće mnogo pomoći za pitanje broj 1 jer je malo verovatno da je $\limsup_{n\to\infty}\frac{p_n}{p_{n+1}}<1$ budući da bi to oborilo mnoge hipoteze za koje se veruje da su tačne, kao što je na primer čuvena Twin Prime Conjecture.

Ne samo da je malo verovatno nego se moze dokazati da vazi
$\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{p_{n+1}}=1$ .

Neka je $y=f(x)=\frac x{\ln x}$ . Trazimo inverznu funkciju ovoj funkciji. Primetimo da je, dalje, $\ln y=\ln x-\ln\ln x$ , a posto vazi $\ln\ln x=o(\ln x)$ onda imamo $\ln y\sim\ln x$ . Iz toga sledi da je $x\sim y\ln y$ . Primenimo ovo na poznatu asimptotsku relaciju $\pi(n)\sim\frac n{\ln n}$ . Posto je $p_n$ ( $n-$ ti prost broj) funkcija inverzna funkciji $\pi(n)$ , vazi $p_n\sim n\ln n$ . Sada se lako dobija da je $\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{p_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln n}{(n+1)\ln(n+1)}=1$ .

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 09.04.2006. u 20:18 GMT+1]}

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Transcendentnost brojeva 14.05.2023. u 20:59 · pre 41 meseci #4

Potvrdan odgovor na 3, a samim tim i na 1 sledi iz sledećeg iskaza:

Citat:

Svaki algebarski broj je racionalan ili normalan.

Ovaj iskaz nije dokazan. Predstavlja hipotezu koja je najverovatnije tačna. Pomenuti zadaci iz prve poruke za sada nisu rešeni (ne samo na ovom forumu, nego uopšte u matematici).

Navodim definicije:

A) Za kompleksan broj $a$ kažemo da je algebarski ako postoji barem jedan polinom $p(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k$ takav da su svi od brojeva $a_0,\dots,a_n$ celi (odnosno racionalni) brojevi, od koji je barem jedan različit od nule i pri čemu je $p(a)=0$ . U suprotnom se za kompleksan broj $a$ kaže da je transcedentan.

B) Neka je $a$ realan broj takav d aje $0\leqslant a<1$ i neka je $b\geqslant 2$ ceo broj. Tada postoji tačno jedan beskonačan niz celih brojeva $d_n$ za koji važi $0\leqslant d_n\leqslant b-1$ i $a=\sum_{k=0}^n\frac{d_k}{b^k}$ i pri čemu nisu svi elementi niza počev od nekog jednaki $b-1$ . Tada za niz $d_n$ kažemo da je decimalni razvoj broja $a$ u standardnom pozicionom sistemu sa osnovom $b$ .

C) Za realan broj $a$ se kaže da je normalan ako za svaki ceo broj $b\geqslant 2$ važi sledeće:

Neka je $m$ jedinstveni ceo broj za koji važi $0\leqslant a-m<1$ i neka je $d_n$ decimalni razvoj u standardnom pozicionom sistemu sa osnovom $b$ . Tada za svaki ceo broj $c$ takav da je $0\leqslant c\leqslant b-1$ važi da mu relativna frekvencija pojavljivanja teži ka $1/b$ . Drugim rečima, ako je $r(c,n)$ broj pojavljivanja broja $c$ u nizu $d_1,\dots,d_n$ (dakle, na prvih $n$ mesta), onda je $\lim_{n\to\infty}\frac{r_n}m=\frac 1b$ .

Ako iracionalan realan broj u svom decimalnom razvoju sadrži samo cifre 0 i 1, onda on nije normalan jer je frekvencija pojavljivanja cifre 2 jednaka nuli, pa prema navedenoj hipotezi ne može biti algebarski, odnosno transcedentan je.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Transcendentnost brojeva 17.05.2023. u 20:52 · pre 41 meseci #5

Citat:

Nedeljko:
Pomenuti zadaci iz prve poruke za sada nisu rešeni (ne samo na ovom forumu, nego uopšte u matematici).

Imaš neku referencu zašto smatraš da je zadatak 2 otvoren problem? Jer po onome što sam napisao u svom prvom odgovoru (pre malo više od 17 godina

) ispada da se za zadatak 2 može reći da dosad razvijena matematika daje potvrdan odgovor.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Transcendentnost brojeva 18.05.2023. u 18:34 · pre 41 meseci #6

Da, taj jeste rešen. Mislio sam na preostale.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Transcendentnost brojeva 18.05.2023. u 21:45 · pre 41 meseci #7

BTW, LaTeX sa ovog foruma ne podržava komande \leqslant i \geqslant, nego se moraju koristiti \leq i \geq, pa u vezi s tim ispravljam greške koje su se potkrale u formulama.

Potvrdan odgovor na 3, a samim tim i na 1 sledi iz sledećeg iskaza:

Citat:

Svaki algebarski broj je racionalan ili normalan.

Ovaj iskaz nije dokazan. Predstavlja hipotezu koja je najverovatnije tačna. Pomenuti zadaci iz prve poruke za sada nisu rešeni (ne samo na ovom forumu, nego uopšte u matematici).

Navodim definicije:

A) Za kompleksan broj $a$ kažemo da je algebarski ako postoji barem jedan polinom $p(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k$ takav da su svi od brojeva $a_0,\dots,a_n$ celi (odnosno racionalni) brojevi, od koji je barem jedan različit od nule i pri čemu je $p(a)=0$ . U suprotnom se za kompleksan broj $a$ kaže da je transcedentan.

B) Neka je $a$ realan broj takav d aje $0\leq a<1$ i neka je $b\geq 2$ ceo broj. Tada postoji tačno jedan beskonačan niz celih brojeva $d_n$ za koji važi $0\leq d_n\leq b-1$ i $a=\sum_{k=0}^n\frac{d_k}{b^k}$ i pri čemu nisu svi elementi niza počev od nekog jednaki $b-1$ . Tada za niz $d_n$ kažemo da je decimalni razvoj broja $a$ u standardnom pozicionom sistemu sa osnovom $b$ .

C) Za realan broj $a$ se kaže da je normalan ako za svaki ceo broj $b\geq 2$ važi sledeće:

Neka je $m$ jedinstveni ceo broj za koji važi $0\leq a-m<1$ i neka je $d_n$ decimalni razvoj u standardnom pozicionom sistemu sa osnovom $b$ . Tada za svaki ceo broj $c$ takav da je $0\leq c\leq b-1$ važi da mu relativna frekvencija pojavljivanja teži ka $1/b$ . Drugim rečima, ako je $r(c,n)$ broj pojavljivanja broja $c$ u nizu $d_1,\dots,d_n$ (dakle, na prvih $n$ mesta), onda je $\lim_{n\to\infty}\frac{r_n}m=\frac 1b$ .

Ako iracionalan realan broj u svom decimalnom razvoju sadrži samo cifre 0 i 1, onda on nije normalan jer je frekvencija pojavljivanja cifre 2 jednaka nuli, pa prema navedenoj hipotezi ne može biti algebarski, odnosno transcedentan je.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Srodne teme