[es] - [Zadatak]: Časovnici na stolu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3637
*.dialup.neobee.net.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

Profil

[Zadatak]: Časovnici na stolu

^{18.02.2005. u 14:41}

Evo jednog vrlo lepog zadatka - ako ne možete da ga rešite napišite makar svoj tok razmišljanja, ideje, predloge, itd. Ako ne bude interesovanja ili napretka objaviću rešenje za oko 2 nedelje.

Nekoliko satova se nalazi na stolu. Poznato je da postoji momenat u kom zbir rastojanja od proizvoljne tačke X na stolu do vrhova minutnih kazaljki nije jednak zbiru rastojanja od tačke X do vrhova satnih kazaljki. Dokazati da postoji momenat u kom je zbir rastojanja od tačke X do vrhova minutnih kazaljki veći od zbira rastojanja od tačke X do vrhova satnih kazaljki.

P. S. Nije navedeno u originalnoj postavci zadatka, ali neophodno je dodati i ovaj uslov: pretpostaviti da minutna i satna kazaljka svakog pojedinačnog sata imaju istu dužinu (što naravno ne mora da znači da su sve kazaljke iste dužine).

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

^{18.02.2005. u 14:41}

gpreda
Goran Predovic
Kragujevac

Član broj: 19087
Poruke: 74
212.200.23.*

Sajt: alas.matf.bg.ac.yu/~mr990..

Profil

Re: [Zadatak]: Časovnici na stolu

^{18.02.2005. u 15:40}

Ovo bi trebalo da bude dokaz, ali posto sam izostavio dosta detalja moze da se shvati i kao ideja:

Neka je t vremenski trenutak u periodu od 12 sati (dovoljno je posmatrati samo 12 sati jer posle se sve ponavlja). Posmatrajmo samo jedan sat.

Neka je f(t) razdaljina od tacke posmatranja do vrha satne kazaljke u trenutku t, i g(t) slicno za minutnu kazaljku.

Moze se dokazati da je:
(L1) integral (0, 12) f(t) dt = integral (0, 12) g(t) dt

Sada se vratimo na sve casovnike, neka ih ima ukupno n. Definisimo funkcije:
F(i, t) = f(t) za i-ti casovnik
G(i, t) = g(t) za i-ti casovnik
F(t) = suma (1, n) F(i, t)
G(t) = suma (1, n) G(i, t)

Zadatak je u stvari da se dokaze da postoji t za koje je G(t) > F(t) (ili obrnuto, ali nema veze to je isto).

Iz (L1) direktno sledi:
(L2) integral (0, 12) F(t) dt = integral (0, 12) G(t) dt

Sada je jasno da ne moze vaziti da je (za svako t) F(t) <= G(t) (negacija tvrdjenja zadatka), jer bi u tom slucaju bilo i:
integral (0, 12) F(t) dt >= integral (0, 12) G(t) dt
(*) gde je znak jednakosti samo u slucaju da je (za svako t) F(t) = G(t).

Uz uslov iz zadatka da postoji trenutak kada je F(t) razlicito od G(t), ovo je jasna kontradikcija.

Jedini problematican deo je (*), to se moze dokazati koristeci cinjenice da su F i G neprekidne i diferencijabilne funkcije.

^{18.02.2005. u 15:40}

pirgos_madden
Pirgos Madden
Pirot

Član broj: 16752
Poruke: 322
195.252.107.*

Jabber: Programing
Sajt: www.pirot-mafia.co.sr

Profil

Re: [Zadatak]: Časovnici na stolu

^{18.02.2005. u 15:52}

Imam pitanje. Da li casovnici u svakom trenutku pokazuju isto vreme - nisam nesto previse razmisljao ali eto ovo mi je palo,..., mozda je bitno? Jos nesto, pretpostavljam da, obzirom da si rekao da je zadatak "vrlo lep", zadatak moze da se resi krajnje elementarno ?

-I srusise se nasi divni snovi !!!
-NATO is bombing Serbia, a Yugoslavian republic, to stop the Serbs from forcing ethnic Albanians from Kosovo. Serb supporters sock it to NATO, U.S. Web sites. Magis says NATO headquarters won't launch an electronic counterstrike. "We want to show we're more civilized," he says. "We believe in freedom of speech." NATO is even discussing the possibility of hosting Serbian information on the Web so the Serbs can share their views.

^{18.02.2005. u 15:52}

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3637
*.dialup.neobee.net.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

Profil

Re: [Zadatak]: Časovnici na stolu

^{18.02.2005. u 16:05}

Citat:

pirgos_madden:
Imam pitanje. Da li casovnici u svakom trenutku pokazuju isto vreme - nisam nesto previse razmisljao ali eto ovo mi je palo,..., mozda je bitno?

Svi časovnici pokazuju tačno vreme.

Citat:

pirgos_madden:
Jos nesto, pretpostavljam da, obzirom da si rekao da je zadatak "vrlo lep", zadatak moze da se resi krajnje elementarno ?

Rekao sam da je zadatak vrlo lep zato što se, iako nije preterano težak, na osnovu postavke zaista ne očekuje da će u rešenju isplivati određeni integral — zvanično rešenje koje ja imam (zadatak je bio na 52. Beloruskoj matematičkoj olimpijadi) vrlo je slično ovome koje je napisao gpreda, kasnije ću napisati malo detaljnije i preglednije. Da li može elementarno, to ne znam, ali probaj pa ako uspeš javi.

@gpreda:
Sve čestitke za rešenje, zaista nisam očekivao ovako brz odgovor.

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 04.04.2009. u 21:58 GMT+1]}

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

^{18.02.2005. u 16:05}

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3637
*.dialup.neobee.net.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

Profil