[es] - Zadatak iz teorije brojeva

Bojan Basic
Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3821
*.beg.sezampro.yu

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

Profil

Zadatak iz teorije brojeva

^{04.03.2004. u 20:45}

Pozdrav. Radio sam jedan zadatak iz teorije brojeva (neću vam reći koji

) i veoma mi se svideo. Onda sam ga malo modifikovao da bude teži. Problem koji je sad nastao je sledeći: ne znam da li postoji neko drugo rešenje ovog zadatka, jer ja znam izuzetno elegantno rešenje, međutim ne znam da li je moja modifikacija uprostila ili usložnila zadatak. Hoću da kažem, kad počnem da rešavam tu modifikaciju, u glavi mi odmah sine rešenje koje već znam (a još jednom naglašavam, izuzetno elegantno), i to me sprečava da potražim neko drugo, možda trivijalnije. Zato postavljam zadatak ovde, da vi "hladne glave" pokušate da ga rešite ne znajući originalnu verziju.

Neka su x i y prirodni brojevi i

. Dokazati da je

potpun kvadrat.

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

^{04.03.2004. u 20:45}

zzzz
milan kecman
bluka

Član broj: 11810
Poruke: 1428
*.dialup.blic.net

Profil

Re: Zadatak iz teorije brojeva

^{05.03.2004. u 22:16}

Ako je x-y=d,supstitucija x=y+d,pa kad riješim kvadratnu jednačinu,dobijem :
y(1)=2d+korijen iz(d(6d+1))
:y(2)=2d-......
Diskriminanta d(6d+1) treba imati cijelobrojan korijen.Faktori su relativno prosti
pa d treba da je kvadrat cijelog broja.

Ali mora biti ispunjen i uvjet da je 6d+1 takođe kvadrat cijelog broja.To ide ako je
d=4 pa je y(1)=18;x(1)=22 i y(2)=-2;x(2)=2.(0vaj drugi par ne upada u skup
prirodnih br.)

Diskusiju o diskriminanti namjerno sam preskočio.

E ali sad ja postavljam pitanje:Dokazati da je x-y=4 jedino rješenje!
(Priznajem da to nisam do kraja izanalizirao)

^{05.03.2004. u 22:16}

noviKorisnik
Dejan Katašić
Novi Sad

Član broj: 13216
Poruke: 4529
*.dialup.neobee.net.

Sajt: www.novikorisnik.net

Profil

Re: Zadatak iz teorije brojeva

^{06.03.2004. u 23:04}

Postoji više rešenja, recimo:
4, 400, 39204, 3841600, 376437604, 36887043600, ...

Kažeš da d i (6d + 1) moraju biti kvadrati, znaci neka je a na kvadrat jednako d, a b na kvadrat jednako (6d + 1). Uz sve to, a i b su nam prirodni brojevi.

Jedan od činilaca pod korenom mora da bude deljiv sa 6 i ceo izraz pod korenom mora da bude kvadrat jer je a prirodan broj...

Ovih nekoliko rešenja sam programski isterao. Postoji li formula za opšti član niza rešenja?

BoxUp
interesantna logička igra
Monty Hall paradoks - interaktivni demo

^{06.03.2004. u 23:04}