Srodne teme
Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Novi zadatak (malo teži)

[es] :: Matematika :: Novi zadatak (malo teži)

[ Pregleda: 1431 | Odgovora: 2 ]

 Postavi temu Odgovori

Autor
Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

kajla
Milorad Janković
Beograd

Član broj: 445
Poruke: 909
*.dial.InfoSky.Net



Profil

icon Novi zadatak (malo teži)10.07.2002. u 13:12

1. Za 1<=r<=n, posmatrajmo sve r-podskupove skupa {1, 2, ... , n}. Takođe, posmatrajmo najmanji broj u svakom od tih podskupova. Ako je F(n,r) aritmetička sredina svih tih najmanjih brojeva, dokazati da je:

F(n,r)=(n+1)/(r+1).

poz.

PS. ko prvi reši zadatak nek pošalje kompletno rešenje.
10.07.2002. u 13:12 

Milos^
Beograd

Član broj: 4596
Poruke: 11
195.250.105.*



Profil

icon Re: Novi zadatak (malo teži)11.07.2002. u 06:40
Posto r-podskupova ima (n nad r), vazi F(n,r)=S(n,r)/(n nad r), gde je S(n,r) zbir svih tih najmanjih brojeva. Ocigledno je S(n,1)=n*(n+1)/2, a S(n,n)=1.
Za neko fiksirano n i r, n>r>1, ako gledamo r-podskupove u kojima se ne pojavljuje n, suma njihovih najmanjih brojeva bice S(n-1, r), a suma r-podskupova u kojima se pojavljuje n bice S(n-1,r-1) jer n ne moze biti najmanji ni u jednom podskupu. Dobija se jednacina S(n,r)=S(n-1,r)+S(n-1,r-1), uz gornje uslove za S(n,n) i S(n,1), i kad se resi dobija se S(n,r)=((n+1)/(r+1))*(n nad r).
11.07.2002. u 06:40 

kajla
Milorad Janković
Beograd

Član broj: 445
Poruke: 909
*.59.EUnet.yu



Profil

icon Re: Novi zadatak (malo teži)11.07.2002. u 12:23
Tvoje rešenje je OK. Evo i ja ću postovati moje (pošto se razlikuje)
sa Binomial[n,k] obeležavam "n nad k"
Ima Binomail[n-k,r-1] podskupova od r elemenata u kojima je k najmanji broj; k=1,2, ... ,n-r+1. Zato je F(n,r)=S(n,r)/Binomial[n,r], gde je:
S(n,r)=Binomail[n-1,r-1]+2*Binomail[n-2,r-1]+3*Binomail[n-3,r-1]+...+(n-r+1)*Binomail[r-1,r-1]

kad se sredi ova suma dobija se:

S(n,r)=Binomial[n+1,r+1] i sada lako dobijamo:
f(n,r)=(n+1)/(r+1)

poz.
11.07.2002. u 12:23 

[es] :: Matematika :: Novi zadatak (malo teži)

[ Pregleda: 1431 | Odgovora: 2 ]

 Postavi temu Odgovori

Srodne teme
Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.