[es] - Ciklicni sistem jednacina

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Ciklicni sistem jednacina

^{16.12.2012. u 02:25 - pre 139 meseci}

Tako kako si postavila zadatak tvrđenje nije tačno. Za

jedno od rešenja je

.

Korišćenjem jednakosti

lako je proveriti da je to zaista rešenje.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

nePonovljivA
Bez posla
Bez posla

Član broj: 308835
Poruke: 26

+5 Profil

Re: Ciklicni sistem jednacina

^{16.12.2012. u 08:09 - pre 139 meseci}

Hm...

Zapravo, zadatak je bio dokazati da dati sistem nema realnih rešenja ako cu a,b,c brojevi takvi da je

.
Ako je x=y=z, tada se ova pretpostavka lako primenjuje, jer imamo kvadratnu jednačinu čija je diskriminanta po pretpostavci negativna. Ostaje da se pokaže da je zaista x=y=z jediina mogućnost.
Ako imaš bolju ideju....

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Ciklicni sistem jednacina

^{16.12.2012. u 11:46 - pre 139 meseci}

Kako misliš da li imam ideju da dokažem nešto što nije tačno? Trebala si da postaviš zadatak onako kako glasi. Ovakva postavka jednostavno nije tačna.

Ako je

, onda je svakako

, pa samim tim i

. Stoga svaku od jednačina možemo pomnožiti sa

i dodati obema stranama

. Uz smenu

i uz oznaku

sistem postaje

.

Obzirom da je

, važi

. Naime, odatle sledi da je

, a pošto je

rastuća funkcija na

sledi

, a odatle

, a

neće da može. Takođe, iz

sledi

, a odatle

, a

opet neće da može. Ostaje da je

, a otuda i

. Međutim, onda je

za koje je

, odnosno

, što nije moguće za

jer je leva strana nenegativna, a desna negativna.

Dakle, uz uslov

je lako. Međutim, taj uslov nisi pominjala. Ovo je sasvim drugi zadatak.

Edit: Ispravka greške.

_{[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 16.12.2012. u 16:21 GMT+1]}

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

nePonovljivA
Bez posla
Bez posla

Član broj: 308835
Poruke: 26

+5 Profil

Re: Ciklicni sistem jednacina

^{09.05.2013. u 17:41 - pre 134 meseci}

y+1=(x+1)(3-x)
z+1=(y+1)(3-y)
x+1=(z+1)(3-z)
Treba rešiti dati sistem u skupu R.

Ja primećujem da je y=f(x), z=f(y), x=f(z), (što ne umem dalje da iskoristim) gde je f kvadratna f-ja. Dalje, primećujem da su rešenja (2,2,2) i (-1,-1,-1). Ne znam kako ide formalno rešenje, pa mi treba pomoć.
Isto bi mi dobro došla i literatura sa ovim cikličnim sistemima jer ih profesor stalno daje, a neće da kaže odakle da uvežbamo. Obično rešenje ide u smeru dokazivanja da je x=y=z. Meni bi značili neki primeri iz kojih mogu da pohvatam bar neke ideje kako se to pokazuje.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Ciklicni sistem jednacina

^{09.05.2013. u 20:05 - pre 134 meseci}

. Dakle,

. Faktorizacijom ove jednačine dobijamo da je

.

Dakle,

može biti

ili

ili koren jednog od navedena dva kubna polinoma. Ako je

ili

, onda je svakako

.

Sa druge strane, ako je

, onda su i

koreni istog tog polinoma i to međusobno različiti, jer kada bi na primer bilo

, onda bi zbog

ta vrednost bila nepokretna tačka funkcije

, a to su samo

, što nisu koreni tog polinoma trećeg stepena.

Isto važi i u slučaju

važi analogno.

Dakle, ili je

ili su

koreni istog od navedena dva kubna polinoma, ne u bilo kojoj permutaciji, nego u tri od šest mogućih permutacija, odnosno, ne mora biti

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

nePonovljivA
Bez posla
Bez posla

Član broj: 308835
Poruke: 26

+5 Profil

Re: Ciklicni sistem jednacina

^{09.05.2013. u 20:23 - pre 134 meseci}

Hvala.
A jel možeš malo da pojasniš kako doći do pomenute faktorizacije?

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Ciklicni sistem jednacina

^{10.05.2013. u 17:31 - pre 134 meseci}

Obzirom da se u polinomu kao koreni moraju pojaviti sve vrednosti koje mogu učestvovati u rešenju, on mora biti deljiv sa [tex[(x+1)(x-2)[/tex], pa ga deli s tim koliko god je moguće, a moguće je jednom (jer -1 i 2 su jednostruke nule tog polinoma).

Ostaće ti polinom šestog stepena. Pomnoži ga sa -1 sa bi bio moničan. Možeš da pokušaš da ga faktorizuješ kao proizvod polinoma drugog i četvrtog stepena, pa kada se pokaže da ta faktorizacija ne postoji, onda kao proizvod dva kubna polinoma. Obzirom da je polinom moničan, možeš se ograničiti na slučaj da su činioci monični. Obzirom da je slobodni član jednak 1, imaš dva slučaja - da su slobodni članovi činioca jednaki 1 i da su jednaki -1. E, onda sve rešavaš metodom neodređenih koeficijenata. Staviš da su ostali koeficijenti činioca neodređeni, pa pomnožiš činioce, pa proizvod izjednačiš sa datim polinomom. Dobićeš sistem jednačina po neodređenim koeficijentima. On će odmah moći da se uprosti korišćenjem dve linearne jednačine kojima se red sistema snižava sa dva.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu