Ako je p prost broj, onda su elementi reda p upravo elementi podgrupa reda p različiti od 1, a presek bilo koje dve podgrupe reda p sadrži samo neutral, pa je broj elemenata grupe reda p deljiv sa p-1.
Dakle, ako imamo m grupa reda 3 i n grupa reda 11, onda elemenata reda 3 i 11 ima 2m+10n. Ako ne bi bilo elemenata reda 33, onda bi osim neutrala svi elementi bili reda 3 ili 11, pa bi bilo 2m+10n=32, što je moguće samo za m=1 i n=2. Dakle, podgrupa reda 3 bi bila jedinstvena, dok bismo imali tačno dve podgrupe reda 11.
Označimo podgrupu reda 3 sa A, a podgrupe reda 11 sa B i C.
Proizvod bilo kog elementa podgrupe B različitog od 1 i bilo kojeg elementa podgrupe C različitog od 1 nije element nijedne od tih podgrupa, pa mora biti element skupa A\{1}.
Za fiksirani element b skupa B\{1} preslikavanje skupa C\{1} u skup A\{1} definisano sa f(x)=bx ne može biti 1-1, pa neka je recimo bc=bc' za neke različite elemente c i c' skupa C\{1}. No, to je u suprotnosti sa aksiomama grupe, jer se množenjem jednakosti bc=bc' sleva sa b
-1 dobija c=c'.
Stoga pretpostavka da ne postoji element reda 33 pada, pa je grupa ciklična.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Zadatak iz algebre
Registrovani: 7 ( Texas Instruments, presa, peromalosutra, zeoN_Rider, Nebojsa Milanovic, priest77, oswajac )
Re: Jedan lak zadatak iz algebre
