Srodne teme
Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Šta je to matematika ?

[es] :: Matematika :: Šta je to matematika ?

Strane: < .. 1 2 3 4 5 6 7 ... Dalje > >>

[ Pregleda: 51003 | Odgovora: 175 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

chupcko
Negde
Beograd

Član broj: 5560
Poruke: 1141

Sajt: www.google.com


+63 Profil

icon Re: Sta je to matematika?03.02.2004. u 21:00 - pre 244 meseci
Aham, a ja mislio da matematika lepo opisuje neke delove prirode, recimo brojeve :), ili recimo odnose povrsina, cak nekako i mislim da matematika se i bavi ekstraktom prirode, ne tako opipljivo kao ostale prirodne nauke. I sta je to manje opipljivijem od brojanja :).

I dalje mislim da je pitanje sta je to matematika veoma slozeno, cak slozenije od toga da se opise cime se bavi matematika :).
CHUPCKO
 
Odgovor na temu

petarm
Petar Mali
Zrenjanin

Član broj: 20220
Poruke: 1879
*.mgnet.co.yu



+33 Profil

icon Re: Sta je to matematika?03.02.2004. u 21:28 - pre 244 meseci
Profesor Djuro Kurepa koji je nekad radio na PMF u Beogradu govorio je:"Osnovna literatura za svakog matematicara je gramatika Srpskog jezika". Veoma je bitno izrazavanje svakog matematicara. Ali takodje bitno je i znati citati matematicki tekst. Postoje ljudi koji umeju da citaju iz kamena. Gledaju tako u neki kamen i komentarisu kroz koje je sve etape u istoriji on prosao. Ali ipak citanje iz kamena je mnogo lakse od citanja matematickog teksta. Matematika je sve i nista. Sto ce znaciti, budite matematicari ma sta to znacilo, a da se jos uvek tako zove.
 
Odgovor na temu

chupcko
Negde
Beograd

Član broj: 5560
Poruke: 1141

Sajt: www.google.com


+63 Profil

icon Re: Sta je to matematika?04.02.2004. u 08:25 - pre 244 meseci
Takav pristup je mistifikatorski (kada neko zeli da pokaze kako je bas pametnica, on moze ili da bude pametnica ili da mistifikuje do kraja svoje delo). Naravno mislim da je profesor Kurepa mislio i na matematicku logiku kao i na preciznost izrazavanja. Ali i dalje smatram da ni jedan matematicar nije u stanju da objasni nekom osnovcu cime se on bavi.

A to je ono sto me malo boli, ispada da cak i svestenici mogu da kazu cime se bave, a mi ne mozemo.

CHUPCKO
 
Odgovor na temu

salec

Član broj: 6527
Poruke: 1738
*.rcub.bg.ac.yu



+25 Profil

icon Re: Sta je to matematika?04.02.2004. u 09:34 - pre 244 meseci
Zen i Taoistički sveštenici takođe ne mogu da kažu čime se bave, pošto znaju da svaki pokušaj objašnjavanja maši, pa zato oni koriste analogije ili negativne odrednice da bi sledbenike naveli na trag koji bi im omogućio da sami pronađu odgovor.

Kod matematike je, čini mi se, problem u tome što je ne možeš ograničiti, odnosno svaka definicija matematike bi trebala da počne sa "Koliko nam je za sad poznato, ..." ili "U ovom trenutku, ...". Ali, to je bolno, uvredljivo i netačno, s obzirom na univerzalnu suštinu matematike, koja nije nauka koja otkriva nepoznato o pojavnom svetu, nego slobodno gradi u prostoru ideja (ponekad, tj. vrlo često, radi simulacije dela pojavnog sveta, što je čest izvor zabune oko njene prirode), tako da je možda bolje ostaviti pitanje definicije otvorenim (makar za sad), zbog naših subjektivnih ograničenja.

Ljudi verovatno nisu oduvek imali takve glavobolje oko definisanja matematike. U stara vremena, ljudi su u osnovnim školama učili "račun" (aritmetiku) i za njih je to bila sva matematika koja postoji. Kada su ljudi uopšte shvatili da je matematika univerzalna, odnosno da će uvek postojati mogućnost dodavanja novih oblasti? Da li su to još starogrčki matematičari znali, ili je to od skora?
 
Odgovor na temu

chupcko
Negde
Beograd

Član broj: 5560
Poruke: 1141

Sajt: www.google.com


+63 Profil

icon Re: Sta je to matematika?04.02.2004. u 11:16 - pre 244 meseci
Pa da, svodi se na nacin spoznaje istine, da li prihvatamo platonov model po kojem sve postoji, a mi samo otrkivamo to sto posotji nezavisno od nas (jelte niko nista nije izmislio, ali jeste otrkio, samim tim naucna otkrica ne bi trebalo da se prodaju :))) ).

Sve u svemu, na kraju mi se cini da ipak ni mi koji se bavimo matematikom, ne znamo cime se bavimo, pa se moze zakljuciti da se ne bavimo nicim :) (nista i nista su nista, dakle crva nikada nije ni bilo).

Eto i odgovora na poslednje, pitanje, znali su odavno da mi samo otkidamo parce po parce sveukupnog saznjanja, i cesto se zaletimo da nesto uradimo, a ono to nemoguce ;)))).

Ajde da spomenem opet jedan lep zadatak, ko ga resi, neka ide da se ubije:

Lenjirom i setsarom za zadatu duzinu ivice kocke konstruisati ivicu kocke koja ima duplo vecu zapreminu.

Prosto se namece, ako ne moze da se redi lenjirom i sestarom, a znamo da postoji, cime moze ?

CHUPCKO
 
Odgovor na temu

stalker
Branko Kokanovic
Beograd

Član broj: 11897
Poruke: 606
*.drenik.net



+2 Profil

icon Re: Sta je to matematika?04.02.2004. u 12:01 - pre 244 meseci
U, za ovaj problem je ponudjena ogromna nagrada, cini mi se.

Ne mozes da definises nesto sto ne znas sta je. Matematika je jedna ogromna hrapava lopta, a mi je grickamo. I najveci matematicari sveta su grickali samo po povrsini ( i to po slobodnoj proceni, 1/1.000 poluprecnika) Daleko smo od spoznaje, mnogo daleko.

Evo i moje teolosko-prog. definicije
if (fPostojiBog)
Matematika=Nacin Boga da nam kaze da postoji
else
Matematika=Dokaz da tehnika uvek moze vise, bolje i da ide napred uopste
 
Odgovor na temu

salec

Član broj: 6527
Poruke: 1738
*.104.EUnet.yu



+25 Profil

icon Re: Sta je to matematika?05.02.2004. u 21:52 - pre 244 meseci
Moja poenta je bila (trebala da bude) da je matematika otvorena, odnosno da je matematičari stvaraju a ne otkrivaju, tako da nema ne samo šanse već ni teorije da se ona ikada iscrpi.
 
Odgovor na temu

darkosos
Darko Šoš
Beograd

Član broj: 5053
Poruke: 1131
*.ptt.yu



+64 Profil

icon Re: Sta je to matematika?06.02.2004. u 06:30 - pre 244 meseci
Rekao bih da je i npr. fizika "otvorena" nauka. Ali ćemo uvek znati da raspoznamo matematičko otkriće od bilo kog drugog - to znači da svi vrlo dobro znamo šta je matematika :)
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dial.InfoSky.Net



+2789 Profil

icon Re: Sta je to matematika?29.03.2004. u 20:10 - pre 243 meseci
U Matematiku svakako spadaju sve njene oblasti, pri čemu tu ima i oblasti koje (za sada) nisu primenjene nigde van Matematike, a recimo u Matematici su pomoću njih rešeni neki fundamentalni matematicki problemi. No, ako vas interesuje samo primenjena Matematika, onda je to stvar vaših interesovanja. Ne možete reći da je Matematika samo onaj njen deo koji vas zanima!

Daleko od toga da se Matematika bavi samo količinama i prostornim odnosima. To se u stvari može reci za Matematiku do početka XIX veka i pojave Galoaove teorije. Za "dogaloaovsku" Matematiku savremeni matematičari često cinično kažu da se bavila "prebrojavanjem ovaca na livadi". Ako želite da dođete do odgovora na pitanje šta je Matematika (danas), ne možete "živeti" u XVIII veku!

Evarist Galoa (Evariste Galois 1811-1832) je baveći se problemom rešivosti algebarskih jednacina

a_n*x^n+...+a_1*x+a_0=0, a_n<>0

preko operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, delenja i korenovanja proizvoljnog stepena u kompleksnom području uveo tada potpuno nov matematički pojam -- grupe, koji nije niti geometrijskog niti numeričkog tipa! On je dokazao da postoje algebarske jednačine petog i višeg stepena čiji se koreni ne mogu izraziti preko pomenutih operacija ako kao konstante koristimo samo koeficijente a_0,...,a_n. Jedna od takvih jednačina je

x^5-5x+1=0.

Tu teoremu je pre njega dokazao Nils Abel, ali je Galoa otkrio opštu teoriju (koja po njemu nosi ime) koja je celu tu problematiku rasvetlila. Galoa nam je poznat po samo jednom otkriću, ali se zahvaljujući tom otktiću naziva "ocem moderne Matematike" jer se smatra da je "odlepio" Matematiku od onoga što se često cinično naziva "prebrojavanjem ovaca na livadi". To otkriće se smatra jednom od najvećih revolucija u istoriji Matematike. Sama nerešivost opšte algebarske jednacine petog i višeg stepena na pomenuti način i nije toliko značajna, koliko je značajno otkriće pojma grupe sa obzirom na činjenicu koliki je uticaj to otkrice imalo na Matematiku.

U srodne probleme spadaju i neki problemi konstruktibilnosti geometrijskih objekata lenjirom i šestarom koji su postavljeni još u staroj Grčkoj, a koji su rešeni, i to negativno (dokazom da je tražena konstrukcija nemoguća) algebarskim metodama u XIX veku. Danas se rešenja tih problema izlažu upravo u svetlosti teorije Galoa. Kasnije je Galoaova teorija uopštena i na druge vrste jednačina, kao što su diferencijalne, pa se tako danas zna za neke diferencijane jednačine da nisu rešive preko kvadratura (integracija).

Na neki ančin od starih grka nam potiče još jedan veliki problem -- problem paralelnosti. U Euklidovim "Osnovama Geometrije", koje su danas zbog pogrešnog latinskog prevoda grčke reči "stoiheja" poznatije kao Euklidovi "Elementi", nalazimo najstariji pokušaj aksiomatizacije (sistematskog zasnivanja i izlaganja) jedne teorije koji je stigao do nas. Ta Euklidova sistematizacija je dugo (sve do XIX veka) bila njbolji udžbenik Geometrije, kao i najbolji uzor za sistematsko izlaganje neke naučne ili filosofske discipline. Euklidovi "Osnovi Geometrije" su bili uzor Dekartu za sistematsko zasnivanje i izlaganje Filosofije, Njutnu Mehanike (čuveni "Matematički principi Fizike"), Spinozi Etike i tako dalje. Zanimljivo je još pomenuti da su sve do XX veka tri najčitanija dela bili Bublija, Danteova "Božanstvana komedija" i Euklidovi "Osnovi Geometrije" (ispred Kurana na primer). Naravno, Biblija se još uvek "drži" na prvom mestu.

Poznato je da se ni jedan stav ne može u potpunosti dokazati. Naime, ako bismo hteli neki stav da dokažemo u potpunosti, sam njegov dokaz bi se, kao što to mora biti, pozivao na neke činjenice, to jest argumente. No, dokaz će u tom slučaju biti valjan samo ako su ti argumenti valjani. To znači da ako želimo da budemo dosledni u dokazivanju u potpunosti stava koji želimo da dokažemo, morali bismo da dokažemo i te činjenice na koje smo se pozvali u dokazu, kao na argumente. Međutim, u dokazima tih drugih činjenica pozvali bismo se na neke treće, koje bismo ako hoćemo da budemo dosledni u dokazivanju stava koji želimo da dokažemo takođe morali da dokažemo. Ova priča ima tri moguća nastavka.

1. Proces dokazivanja se nikada ne završava. U tom slučaju stav nećemo nikada ni dokazati.
2. Na nekom mestu se poziva na stav koji se dokazuje preko stava koji se na tom mestu dokazuje. Ovo je klasična logička greška koja se zove "začarani krug" (circulus viciosus). U tom slučaju stav nećemo dokazati jer dokaz nije valjan.
3. Na nekom mestu se zaustavljamo i prihvatamo neke stavove bez dokaza. Ukoliko nismo napravili nijednu grešku, stav koji dokazujemo će važiti pod uslovom da važe svi stavovi koje smo usvojili bez dokaza. Drugim rečima, polazni stav smo dokazali do na te stavove, odnosno izveli smo ga iz njih.

Uobičajeno je da se treći put bira kao najprihvatljiviji. Neko može reći: "Ali zar stav nije dokazan u potpunosti, budući da su ti stavovi (koji nisu dokazani) krajnje jednostavni, očigledni i jasni?". Prvo, mi čak i ako smatramo neki stav koji nismo dokazali krajnje jednostavnim, očiglednim i jasnim, mi moramo prihvatiti činjenicu da taj stav nismo dokazali, a samim tim da nismo u potpunosti dokazali ni stav koji smo izveli iz tog (nedokazanog stava). Drugo, istorija Matematike nas uči da mnogi očigledni stavovi nisu tačni. Tu posebno treba istaći Peanove kontinuume u Paradoksalne dekompozicije Banaha i Tarskog.

Znači, nijedan stav ne možemo u potpunosti dokazati, pa moramo da se u procesu dokazivanja negde zaustavimo i prihvatimo neke činjenice bez dokaza. No, tu se odmah postavlja pitanje kriterijuma gde treba stati. Prvi kriterijum koji se nameće je da se zaustavi na krajnje jednostavnim, očiglednim i jasnim stavovima. No, uz prethodnu kritiku pojma očiglednosti treba dodati da je ovakav kriterijum krajnje subjektivan, jer ono što je jednom čoveku krajnje jednostavno, očigledno i jasno, drugome ne mora biti ni jednostavno, ni očigledno, ni jasno. Stoga se može u procesu dokazivanja zaustavljati na jednom, unapred dogovorenom skupu stavova koji se neće dokazivati. To su takozvani polazni stavovi ili aksiome. Stavovi koji se iz njih izvode se zovu teoreme. Tako se rešava problem subjektivnosti kriterijuma izbora stavova na kojima će se proces dokazivanja zaustavljati.

Iz sličnih razloga se ne mogu ni svi pojmovi definisati (definitio -- završiti), to jest ne može se za svaki pojam dati potpun kriterijum kada nešto pripada tom pojmu, a kada ne. Stoga se neki pojmovi ne definišu, već izdvajaju kao polazni, a ostali se definišu preko njih. Pojmove koje definišemo preko polaznih zovemo izvedenim pojmovima.

Iz tih razloga je Euklid izdvojio neke stavove kao polazne (aksiome i postulate) i iz njih izvodio ostale. No, postavilo se pitanje da li se peti Euklidov postulat može izvesti iz preostalih postulata i aksioma. Taj problem se naziva problemom paralelnosti. Do odgovora (negativnog) došlo se u XIX veku otkrićem modela u kojima važe sve aksiome i svi postulati izuzev petog. Prethodno su Lobačevski i Boljaj nezavisno jedan od drugog došli na ideju da je tako nešto moguće. To otkriće takozvanih neneuklidskih Geometrija je odlepilo Geometriju od empirije i time je Geometrija prestala da "robuje" Fizici kao disciplina koja proučava prostorne odnose u spoljašnjem (fizičkom svetu).

U poslednjoj četvrtini XIX veka Kantor (Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor) otkriva teoriju skupova. Ona se toliko svidela matematičarima kao zgodan jezik za izlaganje Matematike da je David Hilbert rekao "Iz raja koji nam je Kantor napravio, niko nas nikada neće isterati." (Aus dem Paradies das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können). No, u Kantorovoj teoriji skupova su otkrivene protivrečnosti. Najjednostavniji paradoks je bio Raselov. Koristio je samo "nešto malo" logike i aksiomu komprehenzije (okupljanja) koja glasi

"Za svaku unapred datu osobinu P(x) postoji skup čiji su elementi tačno oni x za koje važi P(x)".


Taj skup se obeležava sa {x:P(x)}. Uočimo osobinu P(x) definisanu sa

P(x) <=> (x je skup i x ne pripada skupu x)


Tada za skup A={x:P(x)} važi

x pripada skupu A <=> (x je skup i x ne pripada skupu x).


Ako x jeste skup, to se svodi na

x pripada skupu A <=> x ne pripada skupu x.


Zamenjujući x sa A dobijamo da važi

A pripada skupu A <=> A ne pripada skupu A,


a to je kontradikcija budući da ni jedan iskaz nije ekvivalentan svojoj negaciji (ne(p<=>ne p) je tautologija). Onda su matematičari pokušali da "spasu" teoriju skupova na razne načine, i tako su nastali razni pravci u Matematici koji daju različite odgovore na osnovna pitanja Filosofije Matemetike među koje spada i pitanje šta su matematički objekti. Neki od pravaca su formalizam, logicizam, realizam, platonizam i intuicionizam, o kojima ne mogu ovde da pišem (barem ovaj put). Danas se Matematika uobičajeno izlaže u okviru aksiomatske teorije skupova ZFC koja je zasnovana na predikatskom računu prvog reda i u kojoj do sada nije otkrivena ni jedna protivrečnost.

Stvari su se dodatno iskomplikovale kada je Gedel (Kurt Gödel) u prvoj polovini XX veka otkrio da bilo kakav eventualni pokušaj formalnog zasnivanja Matematike koji bi dopustio opsivanje iole ozbilnijih fragmenata Matematike nepotpun. Štaviše, ne može se nikako upotpuniti dodavanjem niovih aksioma tako da ostane neprotivrečan i da pitanje da li je nešto aksioma bude algoritamski rešivo. Jedno od najpoznatijih matematičkih tvđenja za koje je dokazano da nije niti dokazivo niti opovrgljivo u sistemu ZFC je kontinuum hipoteza (CH) koja klasi

"Ne postoji skup A takav da se niti skup realnih brojeva može 1-1 preslikati u skup A, niti da se skup A može 1-1 preslikati u skup prirodnih brojeva".

Gedel je 1938. pronašao model koji zadovoljava sve aksiome teorije skupova i u kome važi CH, a Koen (Paul Cohen) je 1963. pronašao model u kome važe sve aksiome teorije skupova i u kome ne važi CH. To znači da CH uopšte ne zavisi od sistema aksioma ZFC. Što se tiče polja realnih brojeva koje je definisano kao uređeno polje koje zadovoljava aksiomu supremuma, taj opis itekako počiva na pojmu skupa za koji, kao što vidimo, nemamo potpun opis. Stoga nije do kraja rečeno ni šta su realni brojevi. Zapravo, dokazuje se da je opis strukture realnih brojeva preko skupova potpun do na skupove, za koje imamo samo delimičan opis. Takođe, postoje i sasvim drugačija zasnivanja Matematičke Analize kao što su Nestandardna Analiza i Glatka Infinitezmalna Analiza.

No, pravi problemi nastaju kada se stigne do nekih dubljih hipoteza iz teorije skupova za koje više nije sigurno ni da li predstavljaju matematička pitanja jer nije jasno na šta se odnose, budući da se pojam skupa ne može nikada sa svih strana rasvetliti. Ovim i dalje nije dat odgovor na pitanje postavljeno na početku, već je samo ukazano da se u traženju odgovora na to pitanje sve ove činjenice (kao i mnoge druge o kojima ne mogu ovde i sada da pišem) moraju uzeti u obzir. Takođe, odgovor na to pitanje nije jedinstven. Svaki od pomenutih pravaca daje po jedan odgovor i ti odgovori nisu međusobno ekvivalentni, pa čak ni saglasni. To je posledica činjenice da svaki od tih pravaca predstavlja jednu (od ko zna koliko mogućih) koncepcija zasnivanja Matematike. Drugim rečima, Matematika nije jedna ako pod Matematikom podrazumevamo ono što matematičari podrazumevaju pod tim pojmom, već u tom smislu postoje razne "Matematike".
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Leftist
Luka Stojanovic
Bg

Član broj: 21766
Poruke: 401
*.drenik.net

Jabber: slartibartfast@jabber.cc
Sajt: www.reggae.rs


+5 Profil

icon Re: Sta je to matematika?12.05.2004. u 01:22 - pre 241 meseci
Ovde se mnogo prica o matematici u superlativu kao majka svega ostalog i svih ostalih nauka, ja iako cenim ovu nauku (vestinu, umetnost) ne bih otisao dalje od toga da je matematika filozofski sistem izgradjen na pretpostavci da postoje tacka i skup, sto je vremenom pokazalo jako zgodne rezultate i implikacije. Sve ostale grane matematike se posle suzavaju ka nekom konkretnijem cilju uvodjenjem dodatnih pretpostavki...

 
Odgovor na temu

chupcko
Negde
Beograd

Član broj: 5560
Poruke: 1141

Sajt: www.google.com


+63 Profil

icon Re: Sta je to matematika?12.05.2004. u 07:51 - pre 241 meseci
Pa nije bas tako, cak i euklid u elemntima uvodi i prave i ravan i tamo neke relacije :).

Mozda je preciznije pitanje: sta je zajednicko za sve te oblasti matematike ?

Da li je to nacin rezonovanja ? ili pak nesto drugo .
CHUPCKO
 
Odgovor na temu

Leftist
Luka Stojanovic
Bg

Član broj: 21766
Poruke: 401
*.drenik.net

Jabber: slartibartfast@jabber.cc
Sajt: www.reggae.rs


+5 Profil

icon Re: Sta je to matematika?12.05.2004. u 21:08 - pre 241 meseci
Citat:
Mozda je preciznije pitanje: sta je zajednicko za sve te oblasti matematike ?

Pa element skupa (npr tacka) i skup. Euklid uvodi pravu i ravan, ali je to (uglavnom) nepotrebno za sabiranje brojeva 2 i 3, t.j. to je uvodjenje dodatnih definicija za konkretizovanje problema (ili pak resenja). Sa druge strane Euklid je pretpostavio (definisao) jos par stvari za koje je Lobocevski utvrdio da se ne mogu uzimati zdravo za gotovo. Neko moze reci da je ocigledno da je 1+1=2 ili da prostor ima 3 (4) dimenzije ili da se dve paralelne prave ne seku, na matematici je da na osnovu datih pretpostavki razradi posledice, ali i da postavi potpuno drugacije polazne osnove. Do Kosija su vazili termini dovoljno malo (veliko) i onda tako otprilike se dovoljno mnogo puta saberu dovoljno male velicine, pa se dobije integral sto je bilo zasnovano na pretpostavci da se podrazumeva koliko je to dovoljno. Onda dodje Kosi i isproziva ih da nisu normalni. Sticem utisak da je razvoj matematike ustvari samo odbacivanje "ociglednih" stvari.

Sad sam se vec pogubio i ne znam sta hocu da zakljucim ovim postom. Kad se smislim nastavicu.
 
Odgovor na temu

chupcko
Negde
Beograd

Član broj: 5560
Poruke: 1141

Sajt: www.google.com


+63 Profil

icon Re: Sta je to matematika?12.05.2004. u 22:18 - pre 241 meseci
Eh, pazi, neke oblasti matematike mogu da se zasnuju bez skupova, uostalom sta su koristili pre otrkica skupova :).

Ali ajde, probaj da se izvuces.

Mada ja i dalje mislim da je matematika sve ono sto se koristi specificnim naucnim metodama (a koje me mrzi da opisujem sada :))) )
CHUPCKO
 
Odgovor na temu

Leftist
Luka Stojanovic
Bg

Član broj: 21766
Poruke: 401
*.drenik.net

Jabber: slartibartfast@jabber.cc
Sajt: www.reggae.rs


+5 Profil

icon Re: Sta je to matematika?12.05.2004. u 23:19 - pre 241 meseci
Citat:
Najjednostavniji paradoks je bio Raselov. Koristio je samo "nešto malo" logike i aksiomu komprehenzije (okupljanja) koja glasi

"Za svaku unapred datu osobinu P(x) postoji skup čiji su elementi tačno oni x za koje važi P(x)".


Taj skup se obeležava sa {x:P(x)}. Uočimo osobinu P(x) definisanu sa

P(x) <=> (x je skup i x ne pripada skupu x)

Zar nije paradoks vec u postavci? Odnosno meni vec ovo nema smisla, mozda ne kapiram kako valja........
 
Odgovor na temu

chupcko
Negde
Beograd

Član broj: 5560
Poruke: 1141

Sajt: www.google.com


+63 Profil

icon Re: Sta je to matematika?13.05.2004. u 08:17 - pre 241 meseci
Pa prica o Raselovom paradoksu je malo dugacka, naravno da treba prvo uvesti skupove, pa ...

Nedeljko sigurno zna bolje celu pricu i sa razresenjem koji nosi 20-ti vek :).
CHUPCKO
 
Odgovor na temu

Leftist
Luka Stojanovic
Bg

Član broj: 21766
Poruke: 401
*.etf.bg.ac.yu

Jabber: slartibartfast@jabber.cc
Sajt: www.reggae.rs


+5 Profil

icon Re: Sta je to matematika?17.05.2004. u 17:59 - pre 241 meseci
Citat:
chupcko:
Eh, pazi, neke oblasti matematike mogu da se zasnuju bez skupova, uostalom sta su koristili pre otrkica skupova :).


Hm ne znam, ali na ovih pet matematika sto su me na ETF-u ucili, sve je bilo, na ovaj ili onaj nacin, preko skupova, pa sam mislio da to mora tako. Osim toga i ako nesto moze da se definise bez skupova (sigurno dosta stvari moze) stekao sam utisak da matematika se mnogo ne trudi da se bavi time (opet iz svog iskustva). Mada se to opet moze objasniti Nedeljkovim postom, gde se kaze da su matematicari mnogo zgotivili teoriju skupova, pa sve preko toga objasnili.
 
Odgovor na temu

chupcko
Negde
Beograd

Član broj: 5560
Poruke: 1141

Sajt: www.google.com


+63 Profil

icon Re: Sta je to matematika?17.05.2004. u 20:52 - pre 241 meseci
Bez ljutnje, ali matematika na ETF-u je kao elektronika na Matematickom, dakle nikakva :). Dobro nije bas nikakva, ali je vise inzinjerska matematika, prakticna vise, a manje filozofija :).

Secam se jednog diplomca ETF-a koji je pisao neki rad i pise: (nesto ne uspevam TeX...)

(\forall x)\land(\forall y)...

Ima nesto dublje od skupa, a to je nacin razmisljanja, uostalom cela matematika se da izgraditi nekim drugim sredstvom a ne skupom, samo ko to zeli da radi :))).

CHUPCKO
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dial.InfoSky.Net



+2789 Profil

icon Re: Sta je to matematika?18.05.2004. u 01:12 - pre 241 meseci
Ne znam koje sam to superlative koristio u svom postu. Samo sam hteo da ukažem na neke činjenice koje se moraju uzeti u obzir pri traženju odgovora na postavljeno pitanje.

Raselov paradoks je zapravo bio paradoks u Fregeovom formalnom logičkom sistemu koji je dopuštao definiciju takvog skupa. No, to takože znači da ni sistem aksioma Teorije Skupova ne sme da dopusti tako nešto.

Danas se Matematika tipično zasniva preko aksiomatske Teorije Skupova ZFC koja se oslanja na predikatski račun prvog reda. Predikatski račun prvog reda takođe može da se uvede aksiomatski. Međutim, problem je u tome što je sistem aksioma ZFC teorije skupova nepotpun. O tome sam pisao u delu posta koji se bavi koninuum hipotezom.

Dakle, pretpostavke na kojima počiva Matematika su (zasad) izražene aksiomama i pravilima izvođenja predikatskog računa prvog reda i aksiomama Teorije Skupova, a ne na pretpostavci da postoje tačka i skup.

Ako bi pretpostavio da postoje tačka i skup, to bi bilo isto kao da si pretpostavio da postoje mačka i miš, budući da nisi rekao šta je to tačka, a šta ravan. Zapravo, aksiomatikom ti opisuješ neke polazne pojmove. To su oni pojmovi koji se ne definišu. Aksiomatika samo daje neke veye između njih, ali ne daje odgovor šta su oni.

Recimo u aksiomatskom sistemu koji su predložili Borsuk i Šmileva za euklidsku Geometriju osnovni (polazni) pojmovi su tačka, prava, ravan, relacija incidencije između njih, relacija izmađu na trojkama tačaka i relacija podudarnosti parova tačaka na četvorkama tačaka. Još je Hilbert primetio da nam takvi aksiomatski sistemi (imao je i on jedan) ne daju odgovor na pitanje šta su tačke prave i ravni. To su neka "tri sistema stvari", koji mogu biti i slonovi, čaše i stolovi, samo ako između njih uspostavimo pomenute relacije incidencije poretka i podudarnosti tako da budu ispunjene sve aksiome.

U odnosu na druge nauke, Matematiku karakteriše njen metod: dedukcija. Matematika je jedina disciplina koja koristi isključivo dedukciju kao metod zaključivanja. Između dedukcije i matematičkog metoda se može staviti znak jednakosti.

Nasuprot onome što piše po mnogim školskim udžbenicima Filosofije, ali ne i u udžbenicima za Filosofski Fakultet u Beogradu, dedukcija je ono zaključivanje kod koga zaključak nužno sledi iz pretpostavki, ili narodnim jezikom rečeno, koji ne može da "omane". Svaka matematičkla teorema je oblika "Pod tim i tim pretpostavkama važi to i to" u smislu da to mora UVEK (nužno, neizostavno) da važi. Tu se često neke pretpostavke ne navode jer se podrazumevaju. Recimo, u teoremama iz analize se podrazumevaju pretpostavke vezane za Logiku, skupove i relane brojeve. Ovde naglašavam da deduktivan pristup ne mora biti aksiomatski, mada su te dve stvari jako tesno povezane.

Dakle, deduktivno zaključivanje je svako "100% pouzdano zaključivanje". E, tu se odmah nameće problem kako mi znamo da je neko zaključivanje deduktivno. U suštini, ništa se ne može potpuno dokazati, pa ne možemo ni biti sasvim sigurni da je neko zaključivanje deduktivno.

Mi možemo reći: "Pa ako se u nekom formalnom sistemu formalno izvede neka formula, nećemo sumnjati u ispravnost tog izvođenja ako smo ga proverili". Drugim rečima, nećemo na primer sumnjati da su dva niza znakova jednaka ako smo ih pročitali znak po znak i utvdili jednakost tih nizova znakova. Ovo je pristup vrlo blizak pameti, da prihvatimo ono što se može algoritamski proveriti, ako smo takvu proveru izvršili. Tada se možemo uveriti da je neki niz znakova formalno izvodiv u nekom formalnom sistemu.

Da ne bi ispalo da koristim suvišne superlative, naglasiću da ograničavanje na SAMO deduktivno zaključivanje ima svoje prednosti i mane. Prednost se sastoji u činjenici da nemamo pouzdaniji metod. Matematika je jedina ozbiljna nauka čiji nijedan stav nikada nije opovrgnut. Ne, ni Neeuklidske Geometrije nisu nijedan stav opovrgle, već samo pokazale da peti Euklidov postulat nije posledica ostalih aksioma i postulata. Mana ovakvog pristupa je što se na taj način može proučavati samo dedukcija, i ništa više.

Probejte na primer da dedukujete boju svog pisaćeg stola, odnosno, da vas neko zatvori u mračnu sobu u koju nikakvi signali ne dopiru, i da bez ikakvih informacija o stolu "čistim mozganjem" zaključite koje je boje. Ko misli da to može, neka mi kaže koja je boja mog pisaćeg stola.

Evo, upotrebiću, čak dva superlativa. Dedukcija je nalik na pušku koja "ne omašuje", ali koja ima kraći domet od svih ostalih pušaka. Ostale puške gađaju dalje, ali ponekad "omašuju".

Inače, do Košija se radilo sa beskonačno malim veličinama (infinitezimalama), kao i sa beskonačno velikim. Koši je učestvovao u eliminisanju istih uvođenjem pojmova dovoljno malog i dovoljno velikog.

Da, Čupko je u pravu da je Matematika mnogo starija od skupova. No, u pomenutoj teoriji ZFC je Matematika zasnovana na mnogo strožiji način nego što je bila ranije. Ipak, postoje i drugi načini isto toliko preciznog zasnivanja Matematike koji su čak ekvivalentni sa pomenutim. Jedan od njih je Teorija Kategorija.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dial.InfoSky.Net



+2789 Profil

icon Re: Sta je to matematika?18.05.2004. u 01:25 - pre 241 meseci
U stvari, odgovor na postavljeno pitanje je odavno dao Branko Kockica.

Citat:
Maaateeematika, to je prava nauka!

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

stalker
Branko Kokanovic
Beograd

Član broj: 11897
Poruke: 606
*.etf.bg.ac.yu



+2 Profil

icon Re: Sta je to matematika?18.05.2004. u 18:37 - pre 241 meseci
Vratio sam se sad sa Elektrijade, ETF je drao u svim predmetima, osim u matematici, gde su ubedljivo prvi bili Novosadjani (u i 1. i u 2.).

Da dodam i ja nesto sto sam skoro nasao na netu
Citat:

Engineers think that equations approximate the real world.
Physicists think that the real world approximates equations.
Mathematicians are unable to make the connection ...
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Šta je to matematika ?

Strane: < .. 1 2 3 4 5 6 7 ... Dalje > >>

[ Pregleda: 51003 | Odgovora: 175 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Srodne teme
Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.