Erdeš-Mordelova nejednakost i njena uopštenja

Pošto je Erdeš-Mordelova nejednakost jedna od najbitnijih nejednakosti u trouglu, evo nešto priče o njoj zajedno sa uopštenjima koja sam uspeo da pronađem.

1) Originalni oblik (1935)

Originalna nejednakost bila je postavljena od strane Erdeša (Paul Erdős, 26.3.1913—20.9.1996) 1935. godine a dokazana je dve godine kasnije i od tada izaziva interesovanje. Formulacija glasi ovako:

Neka je $P$ proizvoljna tačka unutar trougla $ABC$ . Obeležimo sa $p_a$ , $p_b$ , $p_c$ i $d_a$ , $d_b$ , $d_c$ rastojanja od tačke $P$ do temena $A$ , $B$ , $C$ , odnosno stranica $BC$ , $CA$ , $AB$ , redom. Tada važi sledeća nejednakost:

$p_a+p_b+p_c\geq 2(d_a+d_b+d_c)$

Jednakost važi ako i samo ako je posmatrani trougao jednakostraničan a $P$ njegov centar.

2) A Weighted Erdős-Mordell Inequality (2001)

Šoni Dar (hebr. שוני דר, engl. Seannie Dar) i Ši Giron (hebr. שי גירון, engl. Shay Gueron) 2001. godine su u februarskom broju časopisa American Mathematical Monthly (str. 165-168) prezentovali sledeće uopštenje:

Za proizvoljne pozitivne realne brojeve $\lambda_a$ , $\lambda_b$ , $\lambda_c$ (uz gornje oznake) važi sledeća nejednakost:

$\lambda_ap_a+\lambda_bp_b+\lambda_cp_c\geq 2\sqrt{\lambda_a\lambda_b\lambda_c}\left(\frac {d_a} {\sqrt{\lambda_a}}+\frac {d_b} {\sqrt{\lambda_b}}+\frac {d_c} {\sqrt{\lambda_c}}\right)$

Jednakost važi ako i samo ako je $\lambda_a:\lambda_b:\lambda_c=a^2:b^2:c^2$ (gde su $a$ , $b$ , $c$ stranice trougla) i $P$ centar opisane kružnice.

Napomena: Ovaj izraz je prvi put prezentovan još 1989. u knjizi "Recent Advances in Geometric Inequalities" (strana 318, teorema 15) ali bez dokaza i predstavljen je (pogrešno) kao jednakost.

3) A Weighted Erdős-Mordell Inequality - još opštiji oblik (2004)

Valter Janous (Walther Janous) je u e-časopisu Forum Geometricorum (broj 4) dodatno uopštio prethodnu nejednakost. Njegova verzija glasi ovako:

Za ma koji realan broj $t$ , $0<t\leq1$ , uz do sada korišćene oznake, važi sledeće:

$\lambda_ap_a^t+\lambda_bp_b^t+\lambda_cp_c^t\geq 2^t\sqrt{\lambda_a\lambda_b\lambda_c}\left(\frac {d_a^t} {\sqrt{\lambda_a}}+\frac {d_b^t} {\sqrt{\lambda_b}}+\frac {d_c^t} {\sqrt{\lambda_c}}\right)$ , dok za $t>1$ važi:

$\lambda_ap_a^t+\lambda_bp_b^t+\lambda_cp_c^t\geq 2\sqrt{\lambda_a\lambda_b\lambda_c}\left(\frac {d_a^t} {\sqrt{\lambda_a}}+\frac {d_b^t} {\sqrt{\lambda_b}}+\frac {d_c^t} {\sqrt{\lambda_c}}\right)$

Jednakost važi ako i samo ako je $\lambda_a:\lambda_b:\lambda_c=a^{2t}:b^{2t}:c^{2t}$ (gde su $a$ , $b$ , $c$ stranice trougla) i $P$ centar opisane kružnice.

4) A Weighted Erdős-Mordell Inequality for Polygons (2005)

Verovatno najveće uopštenje Erdeš-Mordelove nejednakosti dali su Ši Giron i Iti Šafrir (hebr. איתי שפריר, engl. Itai Shafrir) — zvanična verzija biće objavljena u časopisu American Mathematical Monthly, mart 2005. Oni su dokazali sledeće:

Neka je $A_1A_2A_3...A_n$ poligon sa $n\geq 3$ temena, i neka je $P$ tačka u njegovoj unutrašnjosti. Neka su $p_1$ , $p_2$ , $...$ , $p_n$ i $d_{12}$ , $d_{23}$ , $...$ , $d_{n-1n}$ , $d_{n1}$ rastojanja od tačke $P$ do temena $A_1$ , $A_2$ , $...$ , $A_n$ , odnosno stranica $A_1A_2$ , $A_2A_3$ , $...$ , $A_{n-1}A_n$ , $A_nA_1$ , redom. Neka su još i $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , $...$ , $\lambda_n$ pozitivni realni brojevi. Tada je:

$\sum_{i=1}^n\lambda_ip_i\geq\frac 1 {cos\frac \pi n}\sum_{i=1}^n\sqrt{\lambda_i\lambda_{i+1}}d_{i,i+1}$

Slučaj kada važi jednakost nije jednostavno objasniti, ali ću se truditi da budem što precizniji.

Neka je $L=\left\{\left(a_1e^{\frac {\pi k} n i}+a_2e^{-\frac {\pi k} n i}\right)_{k=1}^n:a_1,a_2\in C\right\}$ i neka je $B=\left\{\left(a_1e^{\frac {\pi k} n i}+a_2e^{-\frac {\pi k} n i}\right)_{k=1}^n\in L:|a_1|\not=|a_2|\right\}$ . Jednakost važi akko postoji vektor $W=(w_1,w_2,...,w_n)\in B$ takav da je $|w_j|^2=\lambda_j$ , $j=1,2,...,n$ , i pri tom je posmatrani poligon tetivan sa temenima $A_j=\frac {w_j^2}{\lambda_j}$ , $j=1,2,...,n$ , dok je tačka $P=0$ (tj. centar opisane kružnice tog mnogougla). Naravno, u obzir dolaze i/ili translacija, rotacija i homotetija.

Toliko od mene, ako imate neke dopune, ispravke, komentare, predloge, pitanja i sve ostalo slobodno to napišite u ovoj temi.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme