zadatk sa proslogodisnjeg prijemnog (fon)

zadatk sa proslogodisnjeg prijemnog (fon) 02.02.2005. u 23:36 · pre 264 meseci #1

evo jedan zadatak sa proslogodisnjeg fonovog prijemnog... treba odrediti koliko resenja imam jednacina ( u resenju mi pise da ima 6 ali mene zanima postupak.. kako doci do tih 6 resenja)

sqrt(4x^2-4)* sin2pix= sqrt(x^2-1)

koja zadovoljavaju uslov |x|<=2pi

hvala

Re: zadatk sa proslogodisnjeg prijemnog (fon) 03.02.2005. u 01:00 · pre 264 meseci #2

davno bese da probam da li se jos secam
ako uvedemo smenu (radi lakseg pisanja) sin2pix = B i sqrt(X^2 - 1) = A
dobijamo u jednom slucaju:
2AB = A
A(2B-1) = 0
A = 0 sto daje dva resenja x=1 i x = -1 jer je (x^2-1) = (x-1)(x+1)
2B-1 = 0
B= 1/2 ili sin2pix = 1/2 sto daje dva resenja x= pi/3 i x=2pi/3

i u drugom slucaju
-2AB = A
A(-2B-1) = 0 -> 2B= -1 -> sin2pix = -1/2

sto jos daje dva resenja x=4pi/3 i x=5pi/3

Re: zadatk sa proslogodisnjeg prijemnog (fon) 03.02.2005. u 01:37 · pre 264 meseci #3

Prvo ima više od 6 rešenja
Drugo
$\sqrt{4 x^2-4}=2\sqrt{x^2-1}$ pa imamo jednačinu
$2\sqrt{x^2-1} *sin(2\pi x)=\sqrt{x^2-1}$
Dakle ili $\sqrt{x^2-1}=0 $ ili $ 2sin(2\pi x)=1$
$$Prvo je lako $x =\pm 1 $ Drugo nije tako lako \dots$
$sin(2\pi x)=\frac{1}{2}$ a to je isto što i $(2\pi x =\frac{\pi}{6} +2k\pi $ ili $ 2\pi x =\frac{5\pi}{6} +2k\pi)$
Dakle $x={1 \over 12} +k $ ili $ x={5 \over 12}+k$,uz uslov $2\pi \ge |x|\ge 1$
ili $x=\pm1$

Re: zadatk sa proslogodisnjeg prijemnog (fon) 03.02.2005. u 09:30 · pre 264 meseci #4

Kod zadataka ovog tipa, kada je dato ograničenje za ceo broj u obliku a < f(k) < b, (a,b iz R), zgodno je rešiti, ako može, po k. Na primer

$-2\pi \leq {1 \over 12}+k \leq -1$
$\Rightarrow -2\pi - {1 \over 12} \leq k \leq -1 - {1 \over 12}$

i onda izvršiti zaokruživanje leve i desne strane. Paziti samo da li je znak stroge nejednakosti ili, kao u ovom slučaju, može i jednako. Uostalom, jednostavno se pitamo koji je prvi ceo broj veći ili manji od nekog datog ralnog. U tom slučaju, ako a i b nisu iz Z, svejedno je da li je nejednakost stroga ili ne.

$\Rightarrow -6 \leq k \leq -2 $ dakle $ k \in \{-6, -5, -4, -3, -2\}$

Ovo je, naravno, samo deo rešenja, na osnovu onog što je KPYU uradio. Ali i ovako, zajedno sa +/- 1, ima preko 6 rešenja. Neko je nešto omašio.

Srodne teme