Sada nešto potpuno drugačije

(a) Posle malo sređivanja dobija se da važi: $\alpha^6-2\alpha^3-2=0$ . Po Ejzenštajnovom kriterijumu imamo da je polinom $X^6-2X^3-2$ nerastavljiv na $\mathbb Q[X]$ . Pošto je moničan, nerastavljiv i ima nulu u $\alpha$ on je i minimalni polinom za $\alpha$ . Takođe, stepen raširenja koje generiše je $6$ . Možemo pisati:

$\mu_{\alpha,\mathbb Q}(X)=X^6-2X^3-2$ i $[\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]=6$

(b) Posle malo sređivanja dobija se da važi: $\alpha^6-6\alpha^4-4\alpha^3+12\alpha^2-24\alpha-4=0$ . Posmatramo polinom $X^6-6X^4-4X^3+12X^2-24X-4$ . Ejezenštajnov kriterijum ovde ne pomaže. Redukcije po modulu nekog prostog broja takođe ne pomažu mnogo, mada je verovatno moguće tim putem doći do nerastavljivosti. Išao sam golom proverom za proizvod dva polinoma stepena $2$ i $4$ , odnosno proizvod dva polinoma stepena $3$ . Ispostavlja se da posle množenja i izjednačavanja koeficijenata dobijamo sistem koji nema rešenja u $\mathbb Z$ . Naravno, test za racionalne nule kaže da nema racionalnih nula, pa samim tim nema linearne, ali ni faktore stepena $5$ . Dakle, minimalni polinom za $\alpha$ je $X^6-6X^4-4X^3+12X^2-24X-4$ , a stepen raširenja je $6$ . Možemo pisati:

$\mu_{\alpha,\mathbb Q}(X)=X^6-6X^4-4X^3+12X^2-24X-4$ i $[\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]=6$

(đ) Imamo da je $\alpha^p=1,\alpha \neq 1$ , pa posmatramo polinom $X^p-1$ . Ovaj polinom rastavljamo na sledeći način:

$X^p-1=(X-1)\cdot(X^{p-1}+...+X+1)$

Možemo da posmatramo jednačinu $X^n-\alpha=0$ . Ako je $\alpha=\rho\mathrm e^{i \phi}$ rešenja ove jednačine su: $X_k=\sqrt[n]\rho\mathrm e^{\frac{i(\phi+2k\pi)}{n}}$ za $k \in \{0,1,...,n-1\}$ . Za $\alpha=1$ i $n=p$ dobijamo upravo polinom koji nas zanima i u tom slučaju je $\rho=1$ i $\phi=0$ . U slučaju polinoma $X^p-1$ dobijamo da je jedna nula $X=1$ , što je pravi $n$ -ti koren iz jedinice, a ostalih $n-1$ su primitivni $n$ -ti koreni jedinice, odnosno nule polinoma $X^{p-1}+...+X+1$ . Dokazuje se da je ovaj polinom nerastavljiv na $\mathbb Q[X]$ uvođenjem smene $Y=X+1$ i primenom Ejzenštajnovog kriterijuma. Dakle, pošto je $\alpha$ nula moničnog polinoma $X^{p-1}+...+X+1$ koji je nerastavljiv, zaključujemo da je on minimalni polinom za $\alpha$ . Možemo pisati:

$\mu_{\alpha,\mathbb Q}(X)=X^{p-1}+...+X+1$ i $[\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]=p-1$

Pošto je ovo u stvari uopštenje primera (v), to je i (v) na ovaj način rešen.

Potpis

Kada budemo vešali kapitaliste oni će nam prodati uže koje ćemo koristiti za vešanje.

Josif Visarionovič Džugašvili

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme