Teorija grupa...

Zdravo svima. Imam sledeci problem.

Naci primer beskonacnog grupoida ciji je svaki pravi podrupoid:
a) beskonacan
b) konacan

Razmisljao sam u kontekstu prirodnih brojeva, skupa prostih brojeva, skupa realnih brojeva itd, pokusao da definisem razne operacije ali nista na kraju se vrtim u krug...
Hvala unapred na pomoci :)

Skup prirodnih brojeva bez nule u odnosu na sabiranje je grupoid čiji je svaki pravi podgrupoid beskonačan.

Skup prirodnih brojeva sa nulom u odnosu na sabiranje ima kao pravi podgrupoid samo jednočlan podgrupoid {0}, koji je konačan.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Posmatramo grupoid (N, +), i izaberemo proizvoljan konacan podskup skupa prirodnih brojeva A = {a_1, a_2, ..., a_k} i bez umanjenja opstosti neka je a_1 < a_2 < ... < a_k, k proizvoljan prirodan broj, onda a_1 + a_k nije u skupu A pa sledi da nijedan konacan podskup nije podgrupoid.
A za primer beskonacnog podrupoida mozemo uzeti recimo skup prirodnih parnih brojeva... Ovo bi bilo neko obrazlozenje po mom skromnom razumevanju. Da li sam u pravu?

A sto se tice odgovora pod b) to ne razumem, zar skup prirodnih brojeva sa nulom u odnosu na sabiranje nema skup prirodnih brojeva bez nule kao podgrupoid?

Ovaj deo je nepotreban jer se nigde ne traži da grupoid uopšte ima prave podgrupoide. Ako bi zadatak glasio "Naći beskonačan grupoid koji ima prave podgrupoide, ali nijedan od njih nije konačan", onda bi ovo zaista bilo potrebno.

Ovako kako je zadatak postavljen, za oba dela zadatka dovoljno je bilo naći beskonačan grupoid bez pravog podgrupoida. Primer je grupoid na skupu prirodnih brojeva sa binarnom operacijom * definisanom na sledeći način:

Ako je m različito od n, onda je m*n=1, dok je m*m=m+1.

Za deo pod b) si u pravu. Moja greška. Ako želimo primer beskonačnog grupoida sa pravim podgrupoidima, ali pri čemu su svi oni konačni, možemo izabrati skup prirodnih brojeva sa nulom sa operacijom (koja se yove "monus") definisanom na sledeći način: Ako je , onda je , a u protivnom je .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Jel mozete malo dodatno pojasniti, meni se cini da je skup prirodnih parnih brojeva sa nulom i definisanom operacijom "monus" primer beskonacnog podgrupoida?

Opet si u pravu.

Na skupu prirodnih brojeva bez nule definisati sličnu operaciju na sledeći način:

Za je , a za je .

Dakle, neka je bilo koji neprazan podskup domena zatvoren za operaciju. Za ma koje je , pa . Za ma koje takvo da je zbog i važi . Ako je beskonačan, onda obuhvata ceo domen. Sa druge strane, za svako je pravi podgrupoid i to su svi pravi podgrupoidi.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.