Formula za zbir arkus tangensa

Formula za zbir arkus tangensa 20.06.2015. u 19:03 · pre 138 meseci #1

Da li neko zna kako se izvodi ova formula:

$arctg x + arctg y = \left\{\begin{array}{c} \varphi, \quad xy<1\\ \varphi + \pi, \quad xy>1,x>0\\ \varphi - \pi, \quad xy>1,x<0\\ \pi/2, \quad xy=1,x>0\\ -\pi/2,\quad xy=1,x<0 \end{array}$ ,
gde je $\varphi=arctg \frac{x+y}{1-xy}$ . Jasno mi je kako je dobijeno to $\frac{x+y}{1-xy}$ , to je zbog $\tg(a+b)=\frac{\tg{a}+\tg{b}}{1-\tg{a}\tg{b}}$ , ali ne shvatam kako se doslo do tih uslova $xy<1,xy>1,x>0$ itd.

Hvala unapred.

Re: Formula za zbir arkus tangensa 20.06.2015. u 22:24 · pre 138 meseci #2

$\tan(\arctan(x))=x$ za svako $x\in R$ .

Neka je $a=\arctan(x)$ i $b=\arctan(y)$ .

$\tan(a+b)=\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}$ kad god je sve definisano, odnosno kada je $\arctan(x)+\arctan(y)\neq\pm\frac\pi 2$ i $xy\neq 1$ . Obzirom da iz $xy\neq 1$ sledi $\arctan(x)+\arctan(y)\neq\pm\frac\pi 2$ , možemo zaključiti da za ma koje $x,y\in R$ za koje je $xy\neq 1$ važi

$\tan(\arctan(x)+\arctan(y))=\frac{x+y}{1-xy}=\tan\left(\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\right)$ .

Odavde sledi da je

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)+k\pi$

jer se brojevi sa istim tangensom razlikuju za celobrojan umnožak broja $\pi$ .

Posmatraj funkciju

$f(x,y)=\arctan(x)+\arctan(y)-\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ .

Ona je definisana u celoj ravni van hiperbole $xy=1$ i neprekidna je, a vrednosti su joj u diskretnom skupu celobrojnih umnožaka broja $\pi$ . Pošto je neprekidna, a vrednosti su joj u diskretnom skupu, ona mora biti konstantna na svakoj komponenti povezanosti domena. Ima ih tri:

$xy<1$ ,
$xy>1,\,\land\,x,y>0$ ,
$xy>1,\,\land\,x,y<0$ .

Na prvoj vrednost funkcije možemo odrediti računajući $f(0,0)$ , na drugoj računajući $\lim_{t\rightarrow\infty}f(t,t)$ i na trećoj računajući $\lim_{t\rightarrow-\infty}f(t,t)$ .

Ostao je slučaj kada je $xy=1$ , odnosno $y=1/x$ . Ako je $x>0$ , onda je $\arctan(1/x)=\frac\pi 2-\arctan(x)$ . Jer je za $a=\arctan(x)$ ispunjeno $0<a<\pi/2$ i

$\tan(a)\tan(\pi/2-a)=1$ ,

$\tan(\pi/2-a)=1/x=\tan(\arctan(1/x))$ ,

$\frac\pi 2-\arctan(x)-arctan(1/x)=k\pi$ .

Odavde sledi da neprekidna funkcija

$g(x)=\arctan(x)+\arctan(1/x)$

definisana na $R\setminus\{0\}$ ima vrednosti u diskretnom skupu. I ona je stoga konstantna na svakoj od dve komponente povezanosti na kojima joj vrednost možemo odrediti računanjem na primer $g(1)$ i $g(-1)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Formula za zbir arkus tangensa 20.06.2015. u 23:15 · pre 138 meseci #3

Nedeljko, hvala puno, sada mi je potpuno jasno! :)

Re: Formula za zbir arkus tangensa 21.06.2015. u 11:23 · pre 138 meseci #4

Ako si nekako naslutio $\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ , onda posmatraš navedenu funkciju $f(x,y)$ . Ona je konstantna na komponentama povezanosti domena na kojima su joj parcijalni izvodi jednaki nuli.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme