Partikularno rešenje nehomogenog sistema diferencijalnih jednačina sa konst. koeficijentima

Partikularno rešenje nehomogenog sistema diferencijalnih jednačina sa konst. koeficijentima 20.01.2013. u 18:27 · pre 167 meseci #1

Imam sistem, oblika Y` = A*Y + B
B je u povoljnom obliku (matrica polinoma * e^nešto)
Tražim rešenje u obliku Qr+s*e^nešto, gde je r višestrukost broja nešto kao vr. sopstv. matrice itd.....sve ok.
Ali, šta sad? Gde sad to dalje menjam? Kako sračunam vrednosti tih koeficijenata iz Q?
Hvala.

Re: Partikularno rešenje nehomogenog sistema diferencijalnih jednačina sa konst. koeficijentima 30.05.2013. u 21:10 · pre 163 meseci #2

Sustina metoda je u sledecem: Neka je dat sistem of $n$ diferencijalnih jednacina u obliku $y'(x)=Ay(x)+P_s(x)e^{\mu x}$ . Dakle, matrica $B$ iz tvojeg zapisa je oblika $g(x)=P_s(x)e^{\mu x}$ , bas kako si i rekla, gde je $\mu$ kompleksan broj u opstem slucaju, a $P_s(x)$ polinom stepena $s$ ciji su koeficijenti $n$ -dimenzionalni konstantni vektori. Pokazuje se da ovaj sistem ima partikularno resenje u obliku $y_p(x)=Q_{r+s}(x)e^{\mu x}$ , gde je $r$ red visestrukosti sopstvene vrednosti $\mu$ matrice $A$ , a $Q_{r+s}(x)$ je polinom stepena ne veceg od $r+s$ , sa koeficijentima koji su $n$ -dimenzionalni konstatni vektori. Ako $\mu$ nije sopstvena vrednost matrice $A$ , iz prethodnog sledi da je partikularno resenje oblika $y_p(x)=Q_s(x)e^{\mu x}$ . Ovaj metod mozemo koristi kada slobodan clan $g(x)$ , ima poseban naveden oblik i on nam sluzi da izbegnemo Lagranzov metod varijacije konstanti.

Evo kako konkretno koristimo ovaj metod na primeru

\begin{aligned}y'_1&=& 2y_1+y_2 + xe^x \\
y'_2&=& -y_1+2y_2-2e^x \\
\end{aligned}

Koreni karakteristicne jednacine odgovarajuceg homogenog sistema diferencijalnih jednacina su $\lambda_{1,2}=2 \pm i$ , a opste resenje (homogenog) je dato sa $y_1(x)=(c_1 \cos x + c_2 \sin x)e^{2x}, y_2(x)=(-c_1 \sin x + c_2\cos x)e^{2x}.$ Slobodan clan nehomogenog sistema je $\input amstex g(x)=\begin{bmatrix} x \\ -2 \end{bmatrix}e^x$ , tako da je $\mu = 1 \neq \lambda_{1,2}$ . Dakle, partikularno resenje negomogenog sistema diferencijalnih jednacina je oblika $\input amstex y_p(x)=\begin{bmatrix} a_1x+b_1 \\ a_2x+b_2 \end{bmatrix}e^x.$ Zamenom ( $y_{1p}(x)=(a_1 x + b_1)e^x, y_{2p}(x)=(a_2 x + b_2)e^x$ ) u nehomogeni sistemi DJ dolazimo do jednacina $a_1-b_1-b_2-(a_1+a_2+1)x=0, \, \, a_2+b_1-b_2+2+(a_1-a_2)x=0$ , odakle nalazimo $a_1=a_2=-b_2=-1/2$ i $b_1=-1.$ Prema tome, trazeno partikularno resenje je oblika $\input amstex y_p(x)=\begin{bmatrix} -x/2-1 \\ -x/2+1/2 \end{bmatrix}e^x$ , a opste resenje posmatranog sistema je dato sa $\input amstex y(x)=\begin{bmatrix} y_1 (x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (c_1 \cos x + c_2 \sin x)e^{2x} - (x/2+1)e^x \\ (-c_1 \sin x + c_2\cos x)e^{2x} + (-x/2+1/2)e^x \end{bmatrix}$ , $(c_1,c_2) \in \mathbf {R}^2.$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Partikularno rešenje nehomogenog sistema diferencijalnih jednačina sa konst. koeficijentima 31.05.2013. u 11:33 · pre 163 meseci #3

Hvala puno :)

Srodne teme