Problem sa zadarkom iz realne analize

Problem sa zadarkom iz realne analize 28.09.2012. u 11:42 · pre 171 mesec #1

Potrebna mi je ideja za rješavanje zadatka lim (n → beskonačno) integral u granicama od 0 do pi (n na 3/2*x*sinnx)/(1+n na 2*x na 2)

Obicno u ovakvim zadacima za dominantu, tj g(x) uzimamo nulu prvog izvod niza posmatranog kao f-ja argumenta ne uvrstenu u fn(x), medjutim kad imam sin previse se zakomplikuje i ne mogu da dobijem nulu prvog izvoda.. :/

Re: Problem sa zadarkom iz realne analize 28.09.2012. u 14:24 · pre 171 mesec #2

Dakle, zanima te

$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\pi\frac{n^{3/2}x\sin(nx)}{1+n^2x^2}\,dx$ .

Jedno rešenje je da sinus oceniš jedinicom odozgore, tj. potražiš integralnu dominantu za niz funkcija

$\frac{n^{3/2}x}{1+n^2x^2}$ .

Ona će samim tim biti integralna dominanta tvog niza funkcija i iznosi $\frac{3^{3/2}\sqrt{x}}{4}$ .

Drugo rešenje je da uvedeš smenu $t=nx$ , posle čega imaš

$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{n\pi}\frac{t\sin(t)}{\sqrt{n}(1+t^2)}\,dt$ .

Označimo podintegralnu funkciju sa $f_n(t)$ . Ako je $n\pi\geq t$ , onda je

$|f_n(t)|\leq\frac{\sqrt{\pi t}|\sin(t)|}{1+t^2}\leq\frac{\sqrt{\pi t}}{1+t^2}=g(t)$ .

Ukoliko je pak $n\pi<t$ , onda je $f_n(t)=0$ , pa svakako važi procena $|f_n(t)|\leq g(t)$ .

Dakle, integralna dominanta je $g(t)$ . Njena integrabilnost se lako dokazuje poredbenim kriterijumom (a moguće ju je integraliti tačno smenom $u=\sqrt{t}$ ) ocenjivanjem jedinicom levo od jedinice, odnosno sa $\frac{\sqrt{\pi}}{t^{3/2}}$ desno od jedinice.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Problem sa zadarkom iz realne analize 28.09.2012. u 19:20 · pre 171 mesec #3

Hvala puno. Mene je bunilo ovo sinNX, dakle njega mogu ograničiti odozgo i onda posmatrati taj niz. Još jednom, hvala. :)

Re: Problem sa zadarkom iz realne analize 28.09.2012. u 19:31 · pre 171 mesec #4

Ja se izvinjavam, još samo ovo da pitam :$

\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\infty}\frac{e^{1/x}\sin(ne^{-1/x})}{1+n^2}\,dx

Re: Problem sa zadarkom iz realne analize 28.09.2012. u 20:35 · pre 171 mesec #5

Dakle, ovaj:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\infty\frac{e^{1/x}\sin(ne^{-1/x})}{1+n^2}\,dx$

Integral pod limesom ne postoji ni za jedno $n\in N$ jer je

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{1/x}\sin(ne^{-1/x})}{1+n^2}=\frac{\sin(n)}{1+n^2}\neq 0$ ,

pa limes neodređeno divergira (dakle nije beskonačno ili nešto slično).

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Problem sa zadarkom iz realne analize 28.09.2012. u 21:46 · pre 171 mesec #6

Mene zanima kako da nađem dominantnu f-ju g(x), kako da odredim od čega mi je manje ili jednako npr e na 1/x i sl. :/

Re: Problem sa zadarkom iz realne analize 28.09.2012. u 23:34 · pre 171 mesec #7

Pa, nećeš je naći. Matematika se ne radi napamet, niti na silu. Ako je dokazano da integral ne postoji, on ne postoji i gotovo.

Integral pod limesom je

$\infty$ za $n=1,2,3,7,8,9,\dots$
$-\infty$ za $n=4,5,6,10,\dots$

Niz koji ima na beskonačno mnogo mesta $\infty$ i na beskonačno mnogo mesta ima vrednost $-\infty$ nema limes.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem sa zadarkom iz realne analize 28.09.2012. u 23:43 · pre 171 mesec #8

Evo ti ga još jedan zadatak:

Izračunati

$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\infty ne^{-nx}\,dx$ .

Smenom $t=nx$ zadatak se svodi na

$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\infty e^{-t}\,dt=\lim_{n\rightarrow\infty}1=1$ .

Ako bi postojala integralna dominanta, onda bi bilo

$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\infty ne^{-nx}\,dx=\int_0^\infty\left(\lim_{n\rightarrow\infty}ne^{-nx}\right)dx=\int_0^\infty 0\,dx=0$ .

Pošto to nije tačno, jer je limes jednak 1, integralna dominanta ne postoji.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Problem sa zadarkom iz realne analize 29.09.2012. u 09:37 · pre 171 mesec #9

Razumijem, samo po teoremi, limes mi ne smije ući pod integral ako ne postoji g(x) koja je veća ili jednaka od fn(x) i koja je integrabilna. :S
I da, šta kada u granicama integrala imam n, recimo

\lim_{n\rightarrow\infty}\int_n^\2n\frac{e^{-nx/n+1}\,dx

Re: Problem sa zadarkom iz realne analize 29.09.2012. u 10:19 · pre 171 mesec #10

Jesi li na ovo mislio?

$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_n^{2n}\frac{e^{-nx}}{n+1}\,dx$

Ovo je isto što i

$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_1^\infty\frac{e^{-nx}}{n+1}\chi_{[n,2n]}(x)\,dx$

Integralna dominanta je $e^{-x}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Problem sa zadarkom iz realne analize 29.09.2012. u 11:15 · pre 171 mesec #11

Mala pomoć oko (La)TeX-a za pitagoru:
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_n^\2n\frac{e^{-nx/n+1}\,dx
Nije dobro napisano nekoliko stvari.

\2n ne postoji,treba staviti {2n}

\frac{e^{-nx/n+1} nevalja,treba \frac{brojnik}{nazivnik}

$\frac{brojnik}{nazivnik}$

Da bi provjerio valja li formula pritisni dugme "Pogledaj kako odgovor izgleda".
Ako nešto nije ispravno vrati se na pisanje odgovora ("Go back one page") i popravljaj.
Kad središ da izgled valja "Pošalji odgovor"

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

1

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme