Banahovi, Hilbertovi prostori, primeri

Banahovi, Hilbertovi prostori, primeri 02.05.2012. u 21:17 · pre 176 meseci #1

Nemam baš jasnu sliku o odnosu između nekih prostora. Može li mi neko dati primere: metričkog prostora koji nije normiran, normiranog koji nije pred-Hilbertov, pred-Hilbertovog koji nije Hilbertov? Gde su tu smešteni Banahovi prostori, tj. kakav je odnos između Banahovih i pred-Hilbertovih prostora? Ako je ova slika u redu, može li mi neko dati primer Banahovog prostora koji nije pred-Hilbertov i obrnuto?

U stvari, šta znači normiran prostor? Ako imamo preslikavanje sa definisanim osobinama, onda za njega možemo reći da je norma, a odgovarajući prostor normiran, ali znamo li koji prostor može da se normira? Isto pitanje za sklalarni proizvod. Ima li onda uopšte smisla ova moja slika?

Kako vi, pametni momci, poimate ove stvari? Zadovoljite se samo time da stalno imate u vidu definicije ili imate neku slikovitu predstavu? (nemojte mi samo reći da je poodavno trebalo da uđem u fazu apstraktnog mišljenja

)

Zahvaljujem onom ko mi rasvetli ove nedoumice, a da mu ne bude preterano smešno što ih imam.

Potpis

"We are mathematicians, we are happy when we have a problem!"

prostori.JPG20.94k

Re: Banahovi, Hilbertovi prostori, primeri 02.05.2012. u 23:10 · pre 176 meseci #2

Metrički koji nije normiran je bilo koji metrički prostor na skupu koji nema vektorsku strukturu. Takođe, primer metričkog prostora na realnoj pravoj koji nije normiran je dat metrikom $d(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|$ .

Normiran prostor koji nije ni pred-Hilbertov, ni Banahov je prostor realnih polinoma sa normom $||p||=\int_0^1|p(x)|\,dx$ .

Pred-Hilbertov koji nije Banahov je prostor realnih polinoma sa skalarnim proizvodom $\langle p,q\rangle=\int_0^1p(x)q(x)\,dx$ .

Banahov koji nije pred-Hilbertov je realna ravan sa normom $||(x,y)||=|x|+|y|$ .

Hilbertov prostor je isto što i Banahov pred-Hilbertov prostor, što na slici nije dobro prikazano.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Banahovi, Hilbertovi prostori, primeri 02.05.2012. u 23:23 · pre 176 meseci #3

Lako se dokazuje da se u svaki realan (kompleksan) vektorski prostor može uvesti skalarni proizvod na bar jedan način.

Korišćenjem Cornove leme dokazuje se da svaki vektorski prostor ima barem jednu bazu. Tada svaki vektor možemo izjednačiti sa preslikavanjem baze u njegove koeficijente u toj bazi, a skup takvih preslikavanja je isto što i skup preslikavanja baze u polje skalara sa osobinom da je skup vektora preslikanih u nenula skalar konačan. Ako je $B$ baza i vektorima $u$ i $v$ odgovaraju preslikavanja $f$ i $g$ tim redom, onda je jedan od mogućih skalarnih proizvoda

$\langle u,v\rangle=\sum_{x\in B}f(x)\overline{g(x)}$ .

Definicija je korektna jer je samo konačan broj sabiraka različit od nule.

No, na istom vektorskom prostoru možeš uvesti razne norme, tako da vektorskom strukturom zapravo ništa nije rečeno. Razne metrike/norme/skalarni proizvodi služe za razne potrebe.

Međutim, Banahov prostor ne može imati prebrojivu dimenziju (pred-Hilbertov može). Kod recimo Hilbertovih prostora se razmatra takozvana ortogonalna dimenzija koja ga nad istim poljem skalara karakteriše do na izomorfizam i koja može biti bilo kolika.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Banahovi, Hilbertovi prostori, primeri 03.05.2012. u 00:33 · pre 176 meseci #4

Puno hvala, Nedeljko!

Citat:

Hilbertov prostor je isto što i Banahov pred-Hilbertov prostor, što na slici nije dobro prikazano.

Hilbertovi prostori definisani su kao kompletni pred-Hilbertovi, a Banahovi kao kompletni normirani, pa sam površno previdela da se taj presek poklapa sa Hilbertovim prostorima.

Citat:

Metrički koji nije normiran je bilo koji metrički prostor na skupu koji nema vektorsku strukturu.

U knjizi iz koje učim stoji ovako nešto: "U klasi metričkih prostora veoma značajni su normirani prostori, koji pored topološke imaju i vektorsku strukturu". Podrazumeva se da na svakom vektorskom prostoru možemo da uspostavimo preslikavanje koje je norma?

Citat:

Lako se dokazuje da se u svaki realan (kompleksan) vektorski prostor može uvesti skalarni proizvod na bar jedan način.

Da, tako smo u Hilbertovim prostorima uveli skalarni proizvod preko Furijeovih koeficijenata.

Potpis

"We are mathematicians, we are happy when we have a problem!"

Re: Banahovi, Hilbertovi prostori, primeri 30.04.2013. u 14:58 · pre 164 meseca #5

Citat:

berazorica: Podrazumeva se da na svakom vektorskom prostoru možemo da uspostavimo preslikavanje koje je norma?

Skoro sam nesto cituckao oko ovoga. Naime, ako su to vektorski prostori nad poljima $\textbf{R}$ ili $\textbf{C}$ , a obicno i radimo sa takvim vektorskim prostorima, onda je odgovor potvrdan.

Neka je $\textbf{B}$ baza (Hamelova baza) datog vektorskog prostora $\textbf{V}$ . Tada se svaki vektor $v \in \textbf{V}$ moze na jedinstven nacin zapisati u datoj bazi sa $\sum_{b \in B}\lambda_b b$ Tada definisimo (na primer) normu sa $\left \|\sum_{b\in B}\lambda_b b\right \| := \max _{b\in B} |\lambda_b|$ . Moze se pokazati da ovako definisano preslikavanje zaista zadovoljava definiciju norme, tj. da je norma datog prostora. (norma se moze definisati i sa $\sum_{b\in B} |\lambda_b|$ )

Za slucaj kad vektorski prostor nije nad poljem $\textbf{R}$ il $\textbf{C}$ ne bih znao kakav je odgovor.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme