Osnove trigonometrije

Osnove trigonometrije 04.06.2011. u 20:15 · pre 187 meseci #1

U skoli sam pre par dana radio trigonometriju pravouglog trougla.I profesor nam je rekao da odradimo neke zadatke.
Ali ono sto meni nije jsano jesu oni osnovni identiteti,dali oni vaze samo za pravougli trougao ili sta kako su oni dobiveni kako naprimer ja mogu da ih sam izvodim da se ne mucim da ih pamtim.
$cos \alpha=\sqrt{1-sin^2\alpha}$ , $tg\alpha=\frac{sin\alpha}{\sqrt{1-sin^2\alpha}}$ , $ctg\alpha=\frac{\sqrt{1-sin^2\alpha}}{sin\alpha}$ i jos,
$sin\alpha=\frac{tg\alpha}{\sqrt{1+tg^2\alpha}}$ , $cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+tg^2\alpha}}$ , $ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}$ ,
$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$ , $tg\alpha ctg\alpha=1$ .
Bio bih zahvalan da mi neko pomogne kako bih mogao da znam sve ove identitete ali ne napamet nego da u svakoj situaciji da znam sam da ih dobijem.

Re: Osnove trigonometrije 04.06.2011. u 21:00 · pre 187 meseci #2

ako je M=(x,y) proizvoljna tačka trigonometrijske kružnice, njene koordinate zadovoljavaju jednačinu $x^2+y^2=1$ . kako je $x=cos\alpha$ i $y=sin\alpha$ , gdje je $\alpha$ ugao između vektora OA i OM, pri čemu je tačka O centar trigonometrijske kružnice, a tačke A i M imaju koordinate (1,0) i (x,y) respektivno, iz prethodne jednačine slijedi $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$ , za svaki ugao $\alpha$ . kombinujući taj identitet sa $tg\alpha={sin\alpha \over cos\alpha}$ , $ctg\alpha={cos\alpha \over sin\alpha{$ i $tg\alpha={1 \over ctg\alpha}$ odnosno $ctg\alpha={1 \over tg\alpha}$ , uz uslov da su svi imenioci različiti od nule, možeš dobiti sve ostale koje si napisao. npr $cos \alpha=\pm\sqrt{1-sin^2\alpha}$ dobiješ direktno iz $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$ . ili recimo, ako obe strane $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$ podijeliš sa $cos^2\alpha$ dobiješ $1+ {sin^2\alpha \over cos^2\alpha} = {1\over cos^2\alpha}$ , odnosno $1+ tg^2\alpha= {1\over cos^2\alpha}$ . to je dalje $cos^2\alpha= {1 \over 1+tg^2\alpha}$ i konačno $cos\alpha=\frac{1}{\pm\sqrt{1+tg^2\alpha}}$ .

Re: Osnove trigonometrije 05.06.2011. u 01:11 · pre 187 meseci #3

$cos^2\alpha+sin^2\alpha=1$ ,podijelis je sa $sin^2\alpha$
${cos^2\alpha \over sin^2\alpha}+{sin^2\alpha \over sin^2\alpha}={1 \over sin^2\alpha}$
${1 \over tg^2\alpha}+1={1 \over sin^2\alpha}$
$sin^2\alpha(1+tg^2\alpha)=tg^2$
$sin\alpha={tg\alpha \over \pm\sqrt{1+tg^2\alpha}}$ .

$cos^2\alpha+sin^2\alpha=1$ ,podijelis je sa $sin^2\alpha$
$ctg^2\alpha+1={1 \over sin^2\alpha}$
$ctg^2\alpha={1-sin^2\alpha \over sin\alpha}$
$ctg\alpha={\pm\sqrt{1-sin^2\alpha} \over sin\alpha}$

$cos^2\alpha+sin^2\alpha=1$ ,podijelis je sa $sin^2\alpha$
$1+{1 \over tg^2\alpha}={1 \over sin^2\alpha}$
$tg^2\alpha(1-sin^2\alpha)=sin^2\alpha$
$tg\alpha={sin\alpha \over \pm\sqrt{1-sin^2\alpha}}$ .

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Osnove trigonometrije 05.06.2011. u 09:50 · pre 187 meseci #4

I ja upravo radim trigonometriju, prelazim sad na funkcije. Imas dosta ovih formula, tako da neke osnovne identitete mozes znati da napises bez izvodjenja... Aaa, kada budes radio adicione teoreme, transformacije zbira i razlike u proizvod i obrnuto videces da su one malo vise komplikovane i njih ces morati da izvodis... Dok ove identiteti koji se lako pamte nema potrebe da ih izvodis to je 5-10 identiteta zapamtiti. Nije tesko.
A, edisnp ti je lepo izveo ove identitete, tako da ti nece biti problem u daljem resavanju zadataka... Pozdrav!

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Osnove trigonometrije 05.06.2011. u 15:59 · pre 187 meseci #5

Dal bi mogo sad neko da mi objasni kako bih resio ove zadatke:
1) $tg1 tg2 tg3 \cdots tg88 tg89=1$
2) $sin^2 1+sin^2 2+sin^2 3+ \dots +sin^2 88 +sin^2 89=1$
Nemam uopste ideju kako bih mogao ovo da resim.?

Re: Osnove trigonometrije 05.06.2011. u 18:16 · pre 187 meseci #6

1. primeti se da je $tg k * tg(\pi/2 - k) = tg k * ctg k = 1$
i sad odatle imas da je npr. $tg 1 * tg 89 = 1, tg 5 * tg 85 = 1$ , odnosno, u ovom tvom zadatku, takve "parove" ces imati 44 puta, i ostace $tg 45$ sam (bez para) , a znamo da je $tg 45 = 1$ , tako da je krajnji rezultat jednak $1 ^{44} * 1 = 1$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Osnove trigonometrije 05.06.2011. u 18:42 · pre 187 meseci #7

a za ovaj drugi, nisam siguran da je tacna postavka zadatka, sve su to pozitivni brojevi, a npr. $sin^2 1 + sin^2 45 > 1$

vidi dal si dobro prepisao zadatak, jer 1 nije sigurno resenje....

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Osnove trigonometrije 05.06.2011. u 20:25 · pre 187 meseci #8

$sin^2 1+sin^2 2+sin^2 3+ \dots +sin^2 88 +sin^2 89=89/2$

$\text{sin}^21=\frac{1-\text{cos} 2}{2}, \text{sin}^22=\frac{1-\text{cos} 4}{2},\text{...}$

$\sin ^21+\sin ^22+\text{...}+\sin ^289=\frac{1-\text{cos} 2}{2}+\frac{1-\text{cos} 4}{2}+\text{...}+\frac{1-\text{cos}(2*89)}{2}=\frac{89}{2}-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{89} \text{cos}(2 n)$

$\text{cos}(\varphi )+\text{cos}(\varphi +\alpha )+\text{cos}(\varphi +2\alpha )+\text{...}+\text{cos}(\varphi +n \alpha )=\frac{\text{sin}\left(\frac{(n+1)\alpha }{2}\right)\text{cos}\left(\varphi +\frac{n \alpha }{2}\right)}{\text{sin}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

$\sum _{n=1}^{89} \text{cos}(2 n)=\cos 2+\cos (2+2 )+\cos (2+2*2)+\text{...}+\cos (2+88*2)$

$\sum _{n=1}^{89} \text{cos}(2 n)=\frac{\text{sin}(89)\text{cos}(90)}{\text{sin}(1)}=0$

Konacno
$sin^2 1+sin^2 2+sin^2 3+ \dots +sin^2 88 +sin^2 89=89/2$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Osnove trigonometrije 05.06.2011. u 21:31 · pre 187 meseci #9

A moze i ovako:
$sin^2 89 = cos^2 1, sin^2 88 = cos^2 2, ...$

$sin ^21+sin ^22+\text{...}+sin ^243+sin ^244+sin ^245+cos ^244+cos ^243+\text{...}+cos ^22+cos ^21=$

$=sin^2 1 + cos^2 1 + sin^2 2 + cos^2 2 + ... + sin^2 44 + cos^2 44 + sin^2 45 = 44 + 1/2 = 89/2$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Osnove trigonometrije 05.06.2011. u 22:20 · pre 187 meseci #10

Evo malog pojasnjenja za ono sto ti je vec Srdjan napisao:
Dakle znaci koristis definiciju komplementnih uglova,znaci zbir dva ugla ciji je zbir jednak pravom uglu.
Umesto $sin^2 89$ ,pises $cos^2(90-89)=cos^2 1$ .I tako nastvais redom i dobjes tacno resenje.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Osnove trigonometrije 06.06.2011. u 14:18 · pre 187 meseci #11

jos nesto ne znam kako se ovo resava:
$\frac{sin20 ctg70}{ cos70 ctg20}$ i jos ovaj.
$\frac{sin52-2tg52-cos38}{ sin38+ctg38-cos52}$

Re: Osnove trigonometrije 06.06.2011. u 14:51 · pre 187 meseci #12

Samo da napomenem da neke od navedenih formula nisu tačne. Recimo, treba da piše

$|\cos|=\sqrt{1-\sin^2 x}$

$\tan x\,{\rm cotan}\, x=1$ za $x/\pi\not\in Z$

itd.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Osnove trigonometrije 06.06.2011. u 15:14 · pre 187 meseci #13

Citat:

Samo da napomenem da neke od navedenih formula nisu tačne. Recimo, treba da piše $|\cos|=\sqrt{1-\sin^2 x}$ .

.

Samo da napomene da ne bi doslo do neke zabune,i Nedeljku se omakla jedna grescica,samo $|cos|$ ne oznacava nista vez nekog ugla ili nepoznate, trebalo je da stoji $|cosx|=\sqrt{1-\sin^2 x}$

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Osnove trigonometrije 06.06.2011. u 15:24 · pre 187 meseci #14

Da.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme