Logika i skupovi

pozdrav svima,
imam par pitanja pa bih zamolio sve upućene da odgovore kad nađu vremena.

na koji način "čitamo" (tumačimo) ovakav zapis:

A=B ako i samo ako (∀x)(x∈A ⇔ x∈B)
A⊂B ako i samo ako (∀x)(x∈A ⇒ x∈B)

interesuje me i ovo.
teorema: za skupove A i B važi: A=B ako i samo ako A⊂B i B⊂A.

kao dokaz, navodi se da je dovoljno to što je iskazna formula
(p⇔q)⇔(p⇒q)⋀(q⇒)
tautologija.

pretpostavljam da smo do formule došli jednostavno zamjenjujući x∈A sa p i x∈B sa q u gornjim formulama i zbog znaka jednakosti u teoremi stavili logički veznik ⇔?

svako dobro

A=B ako i samo ako
ako i samo ako
da bi mogao ovako nesto da procitas morao bi da znas sta znace kvantifikatori univerzalni
i egzistencijalni - univerzalni kvantifikator a -znaci za svako x.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

znam šta znače univerzalni kvantifikatori, a i logički veznici ili operacije ekvivalencije i implikacije, ali zanima me kako "čitamo" drugi dio u zagradi.

ustvari, kad bolje razmislim, pretpostavljam da bi se to moglo protumačito kao: A=B ako i samo ako, je za svaki x tačna logička formula ekvivalencije iz zagrade, odnosno kada su oba izraza sa lijeve i desne strane znaka ekvivalencije ili tačni ili netačni. u drugom slučaju pretpostavljam da se može rezonovati slično: implikacija neće biti tačna samo ako x∈A, ali x∉B.

A=B ako i samo ako
ovo citamo kao:skup A je jednak kskupu B ako i samo ako je za svako x koje je elemenat skupa A sledi da je i x elemenat skupa B i obratno.
a drugi iskaz znaci:Skup A je podskup skupa B ako i samo ako vazi za svako x koje je elemanat skupa A sledi da je i x elemenat skupa B , naravno u ovoj situaciji ne vazi i obrnuta relacija jer je u pitanju implikacija a kod prve vazi jer je u pitanju ekvivalencija.Nadam se da je jasno.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

crystal clear
slobodno nastavi dalje sa odgovorima

I'm os glad.
kakvim odgovorima.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Odatle sledi da je {1,2}={1,1,2,2}. Skup ne zna za ponavljanja, nego samo da li nekog objekta ima ili nema.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

To bi bio isto kao kad bi se trazila na primer unija dva skupa A i B
A={1,1} i B={2,2}, ={1,2} a ne bi bilo ={1,1,2,2}.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Obzirom da je A={1,1}={1} i B={2,2}={2}, njihova unija je {1,2}={1,1,1,1,2,2,2} itd.

Dakle, unija im se može napisati na oba načina - kao {1,2} i kao {1,1,2,2}.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Znaci li na primer ako pravimo razliku skupa A i skupa B tj.
da li se pise samo A razlika B={1,1} ili samo {1} ili {1,1,1,1,1 itd}.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Obično se svaki element navodi po jedanput, ali nije nikakva greška navesti ga više puta.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

nije mi jasno zašto je relacija jednakosti relacija parcijalnog uređenja? očigledno je refleksivna, simetrična i tranzitivna, ali nije mi jasno zašto je i antisimetrična?
uzgred, edisnp, mislio sam da nastaviš sa odgovorima koje sam postavio na početku temu. ako ih znaš. nedeljko i tvoji odgovori su dobrodošli. obrisao sam primjer iz prvog posta pošto sam napravio grešku u kucanju, a ovo za elemente skupa ("skup ne zna za ponavljanje") i proizilazi iz definicije jednakosti dva skupa. dobro je da si ukazao na to.

Relacija je refleksivna ,antisimetricna i tranzitivna i naziva se relacija parcijanog uredjenja .
Ako su u relacija parcijalnog uredjenja bilo koja dva elementa uporediva onda kazemo da je skup tom relacijom potpuno uredjen dok relaciju nazivamo relacijom totalnog uredjenja.
A za pitanje da dokazes da za skupove A i B vazi A=B ako i samo ako je i predlazem ti da dokaz izvedes najednostavnije moguce a to je pomocu Ojler-Venovih dijagrama.I jos za relacije koje se odlikuju osbina:refleksivnost antisimetricnost i tranzitivnost nazivaju se relacijama poretka.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Zašto je jedankost antisimetrična? Pa, probaj da to utvrdiš po definiciji antisimetričnosti. Da li iz a=b i b=a sledi a=b?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Evo napisao sam ti jedan zadatak:
Dat je skup ={6,6}, i u njemu je definisana relacija sa Ispitati osbinu relacije .

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Dakle, , . Ova relacija je zapravo jednakost na jednočlanom skupu. Ima osobine refleksivnosti tranzitivnosti simetričnosti i antisimetričnosti.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

slijedi. ali nekako mi je, ne znam..to slijedi odmah iz prvog a=b :)



tranzitivnosti?
uzgred, kako pišete formule da vam izgledaju tako?

našao sam da je po definiciji uređeni par (a,b)={{a},{a,b}}. u tom slučaju, mislim da mi je jasno zašto je relacija rho={(6,6)} tranzitivna. da li se uređeni par i definiše na taj način da bi između elemenata jednog uređenog para postojala relacija poretka?

Iz definicije antisimetricnosti ili koja je definisana na sledeci nacin dakle svako x i y koji
su elemnti nekog skupa A gde je x u relaciji sa y i y u relaciji sa x naravno iz ovoga sledi da je x=y
na onom primeru sto sam ti napiso imas da je relacija ro definisana sa x|y tj. da se x sadrzi u y i
ro={(6,6)} posto je uzmi sad da ti je prvi broj u relaciji tj. 6=x a y drugi tj.isto y=6 iz ovoga sledi da se
x sadrzi u y a posto je x=y sledi i da se y sadrzi u x i time je uslov antisimetricnosti ispunjen naravno relacija
ima i sve ostale osobine ali sam je napisao jer si na njoj odma mogo da uvidis antisimetricnos.A sto se tice pitanja
oko formula moras koristi Latex sve vezano za to mozes naci ovdje http://www.elitesecurity.org/t35291-Sve-La-TeX-na-ovom-forumu.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)