Nejednacina POmoc.

Nejednacina POmoc. 14.02.2011. u 11:49 · pre 191 mesec #1

Opet sam resavala onu nejednacinu |1-x|-|x-3|>|x-2|
prvo ispitivala sam sve slucajeve tj imamo osam slucajeve i da bi
imala resenje ja prikazem sve na brojevnoj pravo uslove i ona je definisana
kada su svi uslovi veci od nulu ili manji od nule ali nije mi jasno kod treceg uslova
kad dobijem da dva uslova imaju zajednicku vrednost a ovaj treci suprotno od njih preseca
ova druga dva pa nikako ne mogu da skontam u kojoj je ralaciji x definisano molila bih za pomoc kako
da odredim tu relaciju i valjda mi zbog toga ne ispada kao u resenje.

Re: Nejednacina POmoc. 14.02.2011. u 12:16 · pre 191 mesec #2

Posmatrajmo funkcije:
$f_1 (x) = |1-x| - |x - 3|$
$f_2 (x) = |x-2|$

Najpre za prvu, imamo sledeće mogućnosti:
1) $1-x>0$ i $x-3<0$

Tada je $x<1$ i $x<3$ što daje $x<1$ .

Dakle za $x \le 1$ dobijamo relaciju:
$f_1 (x) = 1-x + x- 3 = -2$

2) Kada je $1-x <0$ i $x-3<0$ , tj. $x>1$ i $x<3$ , odnosno $1<x<3$ .

$f_1 (x) = -1 + x + x - 3 = 2x - 4$

3) $1-x<0$ i $x-3>0$

Ovo daje $x>1$ i $x > 3$ , odnosno za $x \ge 3$ funkcija postaje:
$f_1 (x) = -1 + x -x + 3 = 2$

Sada za drugu funkciju za $x-2>0$ , tj. $x>2$ važi $f_2 (x) = x-2$ .

Ako je x<2 $f_2 (x) = 2- x$

Nula funkcije je x=2.

Crtanjem grafika ovih funkcija dobija se da je rešenje ove nejednačine $x \in (2,4)$ .

Možemo primetiti da je ovo zapravo interval između rešenja jednačine $|1-x| - |x - 3|= |x-2|$

Re: Nejednacina POmoc. 14.02.2011. u 15:05 · pre 191 mesec #3

$|1-x|-|x-3|>|x-2|.$

Izrazi apsolutne vrijednosti preko definicije:

$|a|=\left\{\begin{array}{r1} a, & a\geq 0\\ -a, & a<0 \end{array} \right.$ .

1. $x\in (-\infty , 1)$

$(1-x)-(-x+3)>(-x+2)\\ x>4$

U ovom intervalu nema rješenja.

2. $x\in [1 , 2)$

$(-1+x)-(-x+3)>(-x+2)\\ x>2$

U ovom intervalu nema rješenja.

3. $x\in [2 , 3)$

$(-1+x)-(-x+3)>(x-2)\\ x>2$

U ovom intervalu ima rješenje, $x\in (2, 3)$ .

4. $x\in [3 , +\infty)$

$(-1+x)-(x-3)>(x-2)\\ x<4$

U ovom intervalu ima rješenje, $x\in [3, 4)$ .

Rješenje:

$x\in (2, 3)\cup [3, 4)$ .

Re: Nejednacina POmoc. 14.02.2011. u 15:20 · pre 191 mesec #4

$(2,3)\cup[3,4)=(2,4)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Nejednacina POmoc. 14.02.2011. u 15:24 · pre 191 mesec #5

Tačno, ostavio sam postavljaču teme da zaključi.

Re: Nejednacina POmoc. 14.02.2011. u 21:08 · pre 191 mesec #6

Hvala puno!!!!

Re: Nejednacina POmoc. 15.02.2011. u 12:36 · pre 191 mesec #7

Za x>=0, najmanja vrednost funkcije (13 + 8 x + 4 x^2)/(6 (1 + x)) je:
Tako glasi zadatak ali nisam uspeo da ga rešim....je l' može on da se uradi preko izvoda ili kako ? Hvala unapred

Re: Nejednacina POmoc. 15.02.2011. u 13:24 · pre 191 mesec #8

Dakle funkcija je $f(x) = \frac{4x^2 + 8x+ 13}{6(x+1)}$

Treba naći prvi izvod ove funkcije i izjednačiti ga sa nulom.

$f'(x) = 0$ ako je $4x^2 + 8x - 5 = 0$

Pošto je $x \ge 0$ sledi da je ekstrem u tački $x=\frac{1}{2}$ .

Lako se pokazuje da je ta tačka sa ekstremom u stvari tačka gde se dostiže minimum i izračunava $f(\frac{1}{2}) = 2$ i to je traženi minimum.

Re: Nejednacina POmoc. 15.02.2011. u 19:07 · pre 191 mesec #9

Može i ovako.

$f(x)=\frac{4x^2 + 8x+ 13}{6(x+1)}=\frac{4\cdot (x^2 + 2x+ 1)+9}{6\cdot (x+1)}=\frac{2}{3}\cdot (x+1)+\frac{1}{\frac{2}{3}\cdot (x+1)}=t+\frac{1}{t}$ gdje je $t=\frac{2}{3}\cdot (x+1)\geq\frac{2}{3}$ (jer je $x\geq 0$ ).

Nađimo minimum funkcije $g(t)=t+\frac{1}{t}$ .

$g'(t)=\frac{t^2-1}{t^2}=0$ za $t=\pm 1$ . Funkcija g dostiže minimum za $t=1\geq\frac{2}{3}$ . Funkcija f dostiže minimum za $x=\frac{1}{2}\geq 0$ .

Dakle, tačka u kojoj funkcija f dostiže minimum je $M(\frac{1}{2},2)$ .

Re: Nejednacina POmoc. 15.02.2011. u 20:01 · pre 191 mesec #10

Lepo rešenje. A izvode možemo potpuno da izbacimo iz njega. Evo i kako.

Dakle, pošto dolazimo do funkcije:
$g(t)= t + \frac{1}{t}$

Primenom nejednakosti između geometrijske i aritmetičke sredine:
$t + \frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2$

Tako dobijamo da je traženi minimum 2.

Jednakost se dostiže za $t=\frac{1}{t}$ odakle je $t=1$ .

Odatle se može naći vrednost $x=\frac{1}{2}$ za koju se taj minimum postiže.

Re: Nejednacina POmoc. 15.02.2011. u 20:47 · pre 191 mesec #11

Bravo. Razmišljao sam kako da izbacim izvode skroz iz rješenja koristeći samo nejednakosti. Bio sam u frci sa vremenom a i nisam mogao da se sjetim. Svaka čast. Uspio si do kraja da riješiš, imamo sada stvarno lijepo rješenje.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme