Linearna algebra i analitick geometrija-ispitna pitanja MALA POMOC :)
Eto ovako stoje stvari.. Ovo su ispitna pitanja na koja mi trebaju odgovori. Svake godine su ista. Ja sam na matematickom fakultetu u Beogradu a predmet mi predaje Zoran Rakic. Tako da ako ima kolega koje su ovo polozile ili imaju neke odgovore neka ostavljaju sve sto bi moglo da bude od koristi. Svako da odgovori na par pitanja i eto ga.. :) Ja sam na netu trazio i nasao sam samo nekih desetak pitanje i zato sam odlucio da pomoc potrazim ovde.. Na ove odgovore necu vam samo ja biti zahvalan nego i ceo I-smer na matf-u a verovatno i puno sledecih generacija! :) Pitanja su sledeca:
LINEARNA ALGEBRA I ANALITICKA GEOMETRIJA
ISPITNA PITANJA - 2008/09
1. Skupovi. Relacije. Funkcije. Brojevi (prirodni, celi, racionalni, realni i kompleksni).
2. Vektori u R^n i C^n. Sabiranje vektora i mnozenje vektora sa skalarom.
3.Linearna kombinacija vektora u R^n i C^n. Linearna zavisnost i nezavisnost. Baza vektorskog prostora Rn i Cn. Koordinate vektora.
4.Struktura vektorskog prostora na R^n i C^n
5.Skalarni proizvod u R^n i C^n. Norma vektora.
6.Osnovna svojstva skalarnog proizvoda.
7.Cauchy-Scwarzova nejednakost. Nejednakost Minkowskog. Gram-Schmidtov postupak.
8.Rastojanje. Ugao izme|u vektora. Projekcije.
9.Matrice. Sabiranje matrica i mnozenje matrica skalarom. Struktura vektorskog prostora na skupu
matrica Mnm(K). Mno`enje matrica.
10.Struktura algebre Mn(K).
11.Transponovanje matrice i njegova svojstva. Trag kvadratne matrice i njegova svojstva.
12.Inverzna matrica. Opsta linearna grupa. Simetricne, antisimetricne, dijagonalne, gornje trougaone,
ortogonalne, hermitske, antihermitske i blok matrice.
13.Rang matrice. Elementarne transformacije.
14.Ekvivalentne matrice i rang matrica.
15.Sistem linearnih jednacina (definicija). Re{enje sistema jednacina (definicija). Ekvivalentni sistemi
linearnih jednacina. Matrica sistema i prosirena matrica sistema.
16.Kronecker-Capellijeva teorema. Cramerov sistem.
17.Gaussov algoritam i elementarne transformacije.
18.Opis skupa resenja pridruzenog homogenog sistema. Opis skupa resenja linearnog sistema jednacina.
19.Vektorski proizvod. Mesoviti proizvod. Dvostruki vektorski proizvod.
20.Prava u ravni. Jednacine. Uzajamni polozaj pravih. Rastojanje tacke od prave.
21.Ravan u prostoru. Jednacine. Rastojanje tacke od ravni. Uzajamni polozaj ravni. Ugao izmedju ravni.
22.Prava u prostoru. Jednacine. Rastojanje tacke od prave. Uzajamni polozaj pravih. Ugao izmedju dve
prave.
23.Uzajamni polozaj prave i ravni. Ugao izme|u prave i ravni.
24.Mimoilazne prave. Zajednicka normala. Rastojanje izme|u mimoilaznih pravih.
25.Polarni, cilindricni i sferni koordinatni sistem.
26.Definicija vektorskog prostora. Primeri vektorskih prostora.
27.Linearna kombinacija vektora. Lineal. Potprostor.
28.Karakterizacija potprostora.
29.Presek i suma potprostora. Direktna suma potprostora.
30.Grassmannova formula.
31.Linearna zavisnost i nezavisnost vektora. Baza vektorskog prostora. Koordinate vektora.
Koordinatizacija. Dimenzija vektorskog prostora. Primeri baza.
32.Jednakobrojnost baza kona~nodimenzionog vektorskog prostora.
33.Linearna preslikavanja (definicija i primeri).
34.Odre|enost linearnog operatora. Linearizacija.
35.Slika i jezgro linearnog operatora (definicija i osnovna svojstva).
36.Teorema o rangu i defektu linearnog operatora.
37.Izomorfizam vektorskih prostora (definicija i osnovna svojstva). Relacija izomorfnosti vektorskih
prostora.
38.Karakterizacija izomorfnosti dva konacnodimenzionalna vektorska prostora.
39.Vektorski prostor Hom(U,V), i algebra Hom(V) (definicije).
40.Veza izmedju algebri Hom(V) i Mn(K).
41.Matricna reprezentacija linearnog operatora.
42.Zavisnost koordinata vektora o bazi. Matrica prelaska.
43.Zavisnost matrice operatora o bazi. Relacija slicnosti matrica.
44.Grupa permutacija. Inverzija permutacije. Znak permutacije.
45.Ciklusi i transpozcije.
46.Definicija determinante. Osnovna svojstva determinante (bez dokaza).
47.Dokazi osnovnih svojstava determinante.
48.Kofaktori i minore. Adjungovana (adjunkta) matrica date matrice. Determinanta blok matrica.
49.Laplaceov razvoj determiante. Binet-Cauchyjeva teorema.
50.Prakti~no izracunavanje determinante. Determinanta linearnog operatora.
51.Karakterizacija regularnosti linearnog operatora preko determinante. Inverzni operator (matrica).
52.Karakterizacije determinante (bez dokaza).
53.Sopstvena vrednost i sopstveni vektor linearnog operatora (definicija). Karakteristicni polinom linearnog
operatora. Sopstveni potprostor.
54.Geometrijska i algebarska visestrukost sopstvene vrednosti.
55.Teorema Cayley-Hamiltona
56.Karakterizacija dijagonalizabilnosti linearnog operatora.
57.Minimalni polinom linearnog operatora. Veza izme|u minimalnog i sopstvenog polinoma
58.Svo|enje matrice linearnog operatora na gornje (donje) trougaoni oblik.
59.Invarijantni potprostori. Direktna suma invarijantnih potprostora. Matrica linearnog operatora na
direktnoj sumi invarijantnih potprostora.
60.Nilpotentni operatori i Jordanova normalna forma (bez dokaza).
61.Unitarni prostori (definicija i primeri). Norma vektora.
62.Cauchy-Scwartzova nejednakost. Ugao. Normirani i metricki prostori.
63.Ortogonalnost. Ortogonalni komplement.
64.Ortogonalnost i linearna nezavisnost. Pitagorina teorema. Fourierovi koeficijenti.
65.Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije. Ortonormirana baza. Ortogonalni projektori.
66.Grupa unitarnih matrica. Unitarne matrice i ortonormirane baze.
67.Hermitsko konjugovanje i njegova svojstva.
68.Gramova matrica i Gramova determinanta (osnovna svojstva).
69.Pozitivnost Gramove determinante.
70.Linearni funkcionali na konacnodimenzionim prostorima. Hermitski adjungovani operator.
71.Hermitski, antihermitski, normalni i unitarni operatori.
72.Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori hermitskog, antihermitskog i unitarnog operatora.
73.Dijagonalizabilnost normalnog operatora.
74.Pozitivni operatori i skalarni proizvod.
75.Kvadratni koren operatora. Polarna forma operatora.
76.Hermitski bilinearni i kvadratni funkcionali i forme (definicija i primeri).
77.Matrica hermitskog bilinearnog funkcionala. Kongruentnost matrica i rang hermitskog bilinearnog
funkcionala.
78.Polarna forma kvadratne forme. Pozitivne kvadratne forme.
79.Karakterizacija hermitskih bilinearnih funkcionala u unitarnim prostorima.
80.Zakon inercije hermitskog kvadratnog funkcionala.
81.Dijagonalizacija hermitske kvadratne forme. Lagrangeov i Jacobijev postupak i sl.
82.Povrsi drugog reda. Definicije. Primeri. Jednacine.
83. Svo|enje jednacina povrsi drugog reda na kanonski oblik. Klasifikacija povrsi drugog reda.
 |  |
 |
