Iz dela
logički problemi:
Citat:
1. BANETOV PROBLEM VAŠKA I DLAKA
Vaška se nalazi na dlaci na glavi i kreće se brzinom od 2 cm na sat. Dlaka raste brzinom od 1cm na sat . Ako se vaška nalazi na 3cm od kraja dlake, kad će stići na kraj dlake?
U rešenju stoji:
Citat:
1. REŠENJE BANETOVOG PROBLEMA VAŠKA I DLAKA
Šta je ovde štos? Trebamo se setiti da kada dlaka raste ona istovremeno pomera vašku,
tako da nam podatak da dlaka raste 1cm na sat uopšte ne treba!
Dakle, vaška treba da pređe 3cm a brzina joj je 2cm na sat, pa će joj očigledno trebati 1,5
sati ( 1 sat i 30 minuta.)
Meni je mnogo zanimljivije pitanje šta bi bilo ako se nešto — recimo, mrav — kreće po nečemu što raste ili se rasteže
podjednako — recimo, po gumenoj traci (dakle, zamislimo da je traka jednim krajem pričvršćena, a neko vuče drugi kraj). U tom slučaju problem postaje mnogo teži. U nastavku dajem rešenje, i trudio sam se da ga ispišem tako da ga razumeju i oni koji se ne sreću često s nečim sličnim. Ko bi hteo da prvo pokuša sam, neka ne čita dalje.
Neka je
početna dužina gumene trake,
brzina mrava, a
brzina rastezanja. Posle vremena
dužina trake iznosi
. Da bismo rešili problem, potrebno je izračunati pređeni put mrava posle vremena
,
, i naći
koje zadovoljava
(u tom momentu mrav stiže do kraja trake). Glavni deo zadatka je, kako se ispostavlja, naći formulu za
.
Pretpostavimo, za momenat, da se traka umesto sve vreme, istegne kad god protekne kratak interval
. Tada za vreme
mrav prelazi put
, zahvaljujući sopstvenoj brzini, i još
, koliko ga traka pomeri, pa možemo sve zajedno zapisati kao
, tj.
. Konačno, uzimajući
(kako bismo ispoštovali uslov da se traka isteže neprekidno, a ne na kratke intervale), dobijamo
. Uvedimo sada smenu
. Tada je
, pa imamo
, tj.
. Uvedimo još jednu smenu,
. Sada važi
, pa je
, i jednačina glasi
, tj.
, odakle sledi
. Vraćanjem smena najpre imamo
, a onda
, tj.
. Uslov je još i
, pa iz
dobijamo
, te je najzad
, što sređujemo kao
, i konačno
.
Sada možemo rešiti jednačinu s početka:
Dakle, u momentu
mrav stiže do kraja trake. Dužina trake tada iznosi
.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
Sajt za pomoc oko prijemnih ispita - matematika
Re: Sajt za pomoc oko prijemnih ispita - matematika
Re: Sajt za pomoc oko prijemnih ispita - matematika
