koji je postupak resavanja kongruentne jednacine (...po modulu...)?

npr. 35x=14(mod84)
1) proverim nzd(35,84)=7;
7 deli 14 => ima resenje oblika x_t=x₀+(t*84)/7 po modulu 84, gde je t=1,2,...,7;

2) resavam j-nu: 35x+84y=14 sto je kad se skrati: 5x+12y=2

3)nzd(5,12)=1
...nekako se dobije x0=-2 iz postupka euklidovog algoritma.

i dalje ne znam...

a u primeru 623x= -406(mod84) ne moze da se skracuje u koraku 2)

bilo kakvvo objasnjenje pozeljno...

Imas 5X+12Y=2 (aX+bY=c – diofantova jednacina) NZD(5,-12)=1 pa postoji rjesenje

Pomocu euklidovig algoritma dobijas
12 = 5 * 2 + 2
5 = 2 * 2 + 1
2 = 1 * 2 + 0

Sad obrnuto
2 = 5 * (-2) + 12 * 1

Odatle X = -2 = Xo i
Y = 12

Opste rjesenje diofantske jednacine za X je X = Xo + b*t
Pa je X = -2 + 12*t (t pripada Z, t =…-2,-1,0,1,2,…)
Sto je rjesenje kongruentne jednacine.


Dodatak

Ja bi to ovako poceo raditi
Iz jednacine 35x=14(mod84)
dobijas 35X / 84= Y ( 14 )
tj 35X = 84Y + 14
odnosno 35X - 84Y = 14 NZD(35,-84)=7 7|14 pa postoji rjesenje
slijedi 5X - 12Y = 2

Sad euklidov algoritam daje
-12 = 5 * (-2) - 2
5 = -2* (-2) + 1
-2 = -2 * 1 + 0

Obrnuto
2 = -12 *( -1) + 5* (-2)

Pa je X = -2 = Xo
Y = -1

X=Xo +b* t (b=-12)

X= -2 -12*t (t pripada Z, t =…-2,-1,0,1,2,…)

Napomena:
Iako naizgled ne dobijemo ista rjesenja ona jesu ista.
Diofantske jednacine jesu razlicite i one daju dva razlicita skupa uredjenih parova.
Ipak posto nas zanima samo X za kongruentnu jednacinu vidi se da je skup rjesenja X isti u oba slucaja npr X = -14 ( u prvom slucaju t=-1 a u drugom t=1)


X = {...,-26,-14,-2,10,22,...}

Primjeni ovaj princip i za 623x= -406(mod84)
Ako ti nesto nije jasno pitaj.

Meni je u principu jasno sve sto se tiče kongruentnih jednačina, ali me buni jedna stvar.

U jednoj knjizi je dat elementarni zadatak

On se rešava već poznatim postupkom, i dobija se opšte rešenje

Međutim, s obzirom na posledicu 6.3, po kojoj

dolazimo do toga da ova kongruentna jednačina ima jedinstveno rešenje po modulu 5, a to je 2. Interesuje me zbog čega ovakve jednačine imaju ograničen broj rešenja (Teorema 6.2), tj. ove jednačine imaju (a, m) rešenja? Zbog čega npr. rešenje jednačine
nisu i brojevi 7,12,17,..., nego samo 2?
Primera radi,

Ili je upravo suština u tome da rešenje bude po modulu, a ne uopšte?
Hvala unapred na odgovoru