Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto?

Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto? 12.11.2007. u 16:55 · pre 231 mesec #1

Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto?

Ja imam inace prilican problem sa odredjivanjem domena operatora. I voleo bih da mi neko na nekim primerima to objasni. Ali ne da mi kazete domen operatora su diferencijabilne fje ili sl. Nego da cak zadjemo i kazemo recimo domen operatora je S' i da se objasni sustina toga.

Autoadjungongovani ili na engleskom selfadjoint.

Ne bi bilo lose da se vidi na primeru nekog fizickog problema zasto je bitno odredjivanje domena operatora.

Hvala unapred!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto? 17.11.2007. u 21:24 · pre 230 meseci #2

U knjizi Ivanke Milosevic Matematicka fizika 1 na 35-oj strani stoji napomena:
"U beskonacno dimenzionalnim prostorima pojmove hermitski i autoadjungovan, za operatore ciji domen nije ceo prostor treba razlikovati"
Zasto kad se ova dva operatora potpuno isto definisu?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto? 22.07.2008. u 22:04 · pre 222 meseca #3

Kolko sam shvatio razlika je u sledecoj stvari! Voleo bih da neko potvrdi ili opovrgne!

Posto se prostor sa skalarnim proizvodom naziva i ermitski ocigledno je da je ermitski operator onaj koji moze da se seta kroz sk. proizvod ne menjajuci se pritom.
$(\varphi,\hat{A}\psi)=(\hat{A}\varphi,\psi)$

gde je $( , )$ oznaka za skalarni proizvod.

Dok se autoadjungovani operator moze definisati u bilo kom normiranom prostoru
$<\varphi,\hat{A}\psi>=<\hat{A}\varphi,\psi>$

gde $< , >$ nije skalarni proizvod u opstem slucaju! A jeste ako je ta norma bas indukovana skalarnim proizvodom.
A posto mi imamo takve slucajeve u fizici uzimamo da je ovo isto.

Jesam li u pravu?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto? 22.07.2008. u 22:13 · pre 222 meseca #4

Inace jedna informacija za one koje zanima Hermite na francuskom znaci pustinjak!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto? 23.07.2008. u 13:23 · pre 222 meseca #5

Ono sto si ti napisao je definicija za hermitski. A ako takva jednakost vazi na celom domenu (gde za domen uzmes da je maksimalo rasiren) onda je autoadjugovan (tj. ono sto se u fizici zove opservabla). Autoadjugovani operatori imaju vaznu osobinu da njihove svojstvene vrednosti cine kompletan bazis (ortonormiran). Primer operatora koji je hermitski a nije autoadjugovan je operator radijalnog impulsa -id/dr. (imas zadatak vezan za ovo u zbirci Kogana i Galickog)

pozdrav.

Re: Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto? 23.07.2008. u 16:51 · pre 222 meseca #6

Citat:

kajla: Primer operatora koji je hermitski a nije autoadjugovan je operator radijalnog impulsa -id/dr. (imas zadatak vezan za ovo u zbirci Kogana i Galickog)

pozdrav.

Trenutno nemam zbirku kod sebe? Jer znas mozda i broj zadatka?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto? 23.07.2008. u 18:16 · pre 222 meseca #7

Pogledaj 1.28 i 1.29 u novijem izdanju zbirke.

pozdrav.

Re: Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto? 25.07.2008. u 20:42 · pre 222 meseca #8

Nisu isti zadaci u mojoj zbirci sto bi znacilo da imas noviju zbirku! Ova sto je ja imam je iz 1981.

Necu pisati tekst zadatka, ali bih voleo da se iskomentarise ovo sto cu napisati!

a) $i\frac{d}{dx}$
$-\infty<x<+\infty$

da ispitam da li je ovo ermitski operator?

Uzecu neke fje $\varphi$ , $\psi$ i usendviciti ovaj operator izmedju ovih diferencijabilnih fja. Ako se ne varam u matematici se kaze da su ove fje iz klase $C^1$ .

$(\varphi,i\frac{d}{dx}\psi)=\int^{\infty}_{-\infty}dx\varphi^*(x)i\frac{d}{dx}\psi(x)=i\int^{\infty}_{-\infty}dx\varphi^*(x)\frac{d\psi(x)}{dx}\psi(x)=i\int^{\infty}_{-\infty}\varphi^*d\psi=$
$=i\varphi^*\psi|^{\infty}_{-\infty}-ii\int^{\infty}_{-\infty}\psi d\varphi^*$

Mozemo reci da je prvi clan $0$ . Razmatramo vezano stanje!

$(i\frac{d}{dx}\varphi,\psi)$ - dobijam isti rezultat stoga operator je ermitski!

b) $i\frac{\partial}{\partial r}$
$0<r<\infty$

Dobija se $(i\frac{\partial}{\partial r})^{+}=i\frac{\partial}{\partial r}+\frac{2i}{r}$

Sad kolko ja shvatam ovo sto pise ako je operator definisan na celom prostoru ovaj drugi clan ce biti nula? Pa se zato ovaj operator zove autoadjungovan?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto? 26.07.2008. u 17:54 · pre 222 meseca #9

To da li su autoadjugovani ili ne zavisi od domena. Ako u slucaju 1) uzemes da domen L(-inf,inf) onda ce on biti autoadjugovan. (onaj clan od parcijalne integracije je nula zbog toga sto f pripada domenu)
U slucaju 2) operator nije autoadjugovan vec je samo hermitski (odnosno simetrican kako ga matematicari zovu) zato sto je A*<A. (moras da uzmes da je f(0)=0) Tako da za ovaj operator svojstvene vrednosti nisu realne i svojstvene funkcije nisu medjusobno ortogonalne kao sto mozes da proveris. (ne znam odakle ti onaj dodatni clan u slucaju 2) )
Ono sto je bitno za fiziku je to da su autoadjugovani operatori obervable zato sto su svojstvene vrednosti realne i svojstveni vektori medjusobno ortogonalni. Mada najlaksi nacin da se proveri da li neki hermitski operator moze da "rasiri" do autoadjugovanog je preko indeksa defekta. (koji pritom daje i koliko dodatnih granicnih uslova treba da se nametne na domen) Ako te zanima vise o ovome pogledaj Richtmyer poglavlje 8.6 (ruski prevod ove knjige mozes da nadjes na netu)

pozdrav.

Re: Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto? 28.07.2008. u 18:16 · pre 222 meseca #10

Citat:

kajla: To da li su autoadjugovani ili ne zavisi od domena.

Ok. To mi je jasno!

Citat:

kajla: Ako u slucaju 1) uzemes da domen L(-inf,inf) onda ce on biti autoadjugovan. (onaj clan od parcijalne integracije je nula zbog toga sto f pripada domenu)

Ovde nisam bas siguran sta si hteo da kazes? Meni je logicno da je to $0$ ako posmatram vezano stanje jer je onda $\psi|^{\infty}_{-\infty}=0$ i $\varphi^*|^{\infty}_{-\infty}=0$

Citat:

kajla: U slucaju 2) operator nije autoadjugovan vec je samo hermitski (odnosno simetrican kako ga matematicari zovu) zato sto je A*<A. (moras da uzmes da je f(0)=0)

Sta ti ovde oznacava $*$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto? 28.07.2008. u 20:49 · pre 222 meseca #11

Herbutova kvantna

''Hermitski operator $\hat{A}$ ima svoj domen definisanosti $\mathcal{D}_{\hat{A}}\subset\mathcal{H}$ . Skup $\mathcal{D}_{\hat{A}}$ moze biti ceo prostor $\mathcal{H}$ . Ako je $\mathcal{D}_{\hat{A}}$ pravi podskup onda je to lineal gust u $\mathcal{H}$ .''

Ako je pravi podskup onda je ermitski operator autoadjungovan na $\mathcal{D}_{\hat{A}}$ . A svaki autoadjungovan operator je ermitski! Jesam li u pravu?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Da li su ermitski i autoadjungovani operator jedno te isto? 28.07.2008. u 20:49 · pre 222 meseca #12

* oznacava adjugovanje. Pa mozes da kazes da je zbog toga nula ali cisto matematicki gledas da li je nula na domenu operatora (recimo na lebegovom L(-inf,inf) prostoru) sto je zadovoljeno u tom slucaju. (ako bi uzeo neki drugi domen moglo bi da ne bude zadovoljeno, tj. domen A* i A se nebi poklapao)

pozdarav.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme