[ZADATAK] Granicna vrednost rekurentno zadatog niza (ako sam se dobro izrazio)

Ako biste mogli da mi rastumacite nesto. Resio sam jedan zadatak ali mi i dalje nije jasno ponesto...

Zadat je niz:





Trebam da dokazem da je konvergentan i nadjem granicnu vrednost.

E sad. Princip monotonije kaze:

Ako je niz monotono rastuci (neopadajuci) i ogranicen sa gornje strane, tada je on konvergentan i tezi svom supremumu.

Ovako, vidi se da niz cine iskljucivo pozitivni racionalni brojevi. Ja sam pretpostavio da vazi:



i krenuo da to indukcijom dokazem:

n=1:


n=k:
(pretpostavka)

k+1:





Da se ne bih sada zamarao, kad se ovo malo sredi, svede na zajednicki i svaki sa svakim izmnozi, dobije se ovako nesto:



E sad, imenilac je ocigledno uvek pozitivan, jer su svi clanovi niza pozitivni racionalni brojevi, a brojilac je po pretpostavci uvek pozitivan. Dakle dokazao sam da je tako.

E ono sto me ovde muci je sledece: ja sam pretpostavio da je niz rastuci i to sam dokazao. A sta ako je niz npr. neopadajuci? Da se npr. desilo da svaki clan, pored toga sto je veci, moze i biti jednak prethodnom clanu?

Poredici prve clanove ja sam mogao krenuti dokazivati i Kako ja mogu prepoznati da li je niz rastuci ili neopadajuci iz ovoga ovde:


Siguran sam da se tu nekako moze iscitati...

Potpis

...

Pre svega, svaka čast za obrazlaganje onoga što si sam uradio! Kada bi svi postupili slično kao ti, ne bi bilo obrisanih zadataka koji samo čekaju rešenje na tacni, bez ikakvih komentara.

Što se tiče tvog problema, u pitanju je vrlo jednostavna stvar: svaki niz koji je rastući takođe je i neopadajući (ali obrnuto ne važi!). Tako i za ovaj niz možeš pokazati da je neopadajući, jer to svakako jeste tačno; međutim, ti si dokazao jače tvrđenje, i ne treba da se sekiraš zbog toga.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Ako posmatraš izraz vidiš da je manji od jedinice za svako x manje od 6. To znači da je 6 gornje ograničenje niza.

Da bi niz bio monotono rastući, treba da važi za svako x koje uzimaju članovi niza. Kad se izraz sredi, dobije se , što važi za x iz intervala (-1, 6). Kako je početna vrednost iz tog intervala, sve kockice su se uklopile.

Potpis

BoxUp
interesantna logička igra
Monty Hall paradoks - interaktivni demo

I na kraju ostaje samo još da nađeš limes.

Sto volim da se mesam u matematiku, a to mi je uvek slabo islo :)

Mozes da nadjes limes i malo cudnim metodama :), a neko ko ima dobru memoriju moze i teorijski da potkrepi:

Kako je resi jednacinu po x: i eto ti granicne vrednosti :).

Kada resis dobijas da je x=-1 ili x=6, naravno jedno resenje mozes da zanemaris, sta mislis koje :).

P.S. Stvarno sta se messam u sve ovo kada ...

Potpis

CHUPCKO

Cekaj... Znaci, kada zelim da dokazem da je niz konvergentan, moram da dokazem da je rastuci ili barem neopadajuci, bilo sta od ovoga? Znaci svejedno je?

A kako bi izgledao primer niza koji je iskljucivo neopadajuci, ali nije i rastuci? Tj. kada se takav niz dovede u ovakav jedan oblik:



, kako bih ja odatle mogao zakljuciti da je niz iskljucivo neopadajuci, a ne i rastuci?

PS Hvala na odgovorima. Pozz!

Potpis

...

Definicije:

Ako za svako važi , niz je strogo/monotono rastući (ili samo "rastući" ako je iz konteksta jasno).

Ako za svako važi , niz je neopadajući.

Dakle, poenta je u vrsti nejednakosti. Kod neopadajućeg niza moguće je da su neka dva susedna člana (ili više uzastopnih) jednaka.

Primer neopadajućeg niza: 1, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...

U dokazima, znaćeš da li je niz strogo rastući ili neopadajući prema vrsti nejednakosti koju dobiješ.