Ako a!=b, zadate jednacine opisuju elipsu sa poluosama a odnosno b. Pri tome, linija od x=y=0 do tacke [x(t),y(t)] zaklapa sa x-osom elipse ugao
.
Duzina predjene krive od t=0 do t=t2 onda odgovara duzini luka elipse od
do
. Duzina ovog luka pak je data sa:
tj.
tj.
tj.
gde
.
Poslednji integral je pak definicija kompletnog elipticnog integrala prve vrste (EllipticE u Mathematica-i) sa parametrom m.
cf.
http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticE2/02/
Stavise, proracuna duzina luka elipse upravo je i dovela do uvodjenja elipticnih integralnih funkcija (otud i ime!). Siguran sam da negde postoji i dokaz da ovaj integral nije moguce resiti preko elementarnih funkcija.
Marko