kvadratne nejednačine

kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 16:48 · pre 236 meseci #1

Spremam se za prijemni ispit i uradio sam gotovo sve zadatke iz zbirke, medjutim ono što nikako ne mogu da shvatim je pravilan način rješavanja kvadratnih nejednačina:

Uzecu za primjer ovaj zadatak:
$\sqrt{x^2+2x-8}>x-1$

Ovo je moj postupak rješavanja:
$Df: x^2+2x-8 \ge 0$
Kad vietovim formulama odredimo nule f-je, dobijamo da je $Df: x \in (-\infty,-4) \cup (2,\infty)$

Zatim kvadriranjem obe strane nejednačine dobijam:
$x^2+2x-8>x^2-2x+1$ , odnosno $x>{9\over4}$

Na kraju nađem presjek dobijenog rješenja sa oblasti definisanosti, što je očigledno $x>{9\over4}$ , odnosno $x \in {({9\over4},\infty)}$

Međutim ovo je samo dio rješenja, jer bi po zbirci rješenje trebalo da iznosi: $x \in {(-\infty,-4) \cup ({9\over4},\infty)$

Ako može neko da mi objasni gdje griješim, i odakle se pojavilo ovaj prvi dio rješenja (x<-4), ne bi trebalo da je to iz oblasti definistanosti.

Hvala.

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 17:33 · pre 236 meseci #2

Koliko ja vidim tvoje resenje je tacno. Prosto kad se uvrsti neki broj manji od -4 ne dobije se tacno resenje.

Na primer : f(-5) bice 2 > 16 sto nije tacno...

Samo i ja imam jednu nedoumicu, da bi se nejednacina kvadrirala obe strane moraju biti pozitivne. To bi bio slucaj kad bi ovaj koren bio manji od x-1, posto je podkorena velicina veca od 0 samim tim je onda i strana koja je veca od toga veca od nula. Ali ovde to nije slucaj? Da li je mozda tu greska?

Potpis

Kad te majstor Zivota opravi bices na konju!!

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 17:52 · pre 236 meseci #3

Njednacine tog oblika rjesavas ovako:

$S':x^2+2x-8 \ge 0\Rightarrow{x \in (-\infty,-4] \cup [2,\infty)}$
$S'':x-1<0\Rightarrow{x\in{(-\infty,1)}}$

$S_{1}=S'\cap S''\Rightarrow{x\in (-\infty,-4]\cup [-4,1]\cap [2,\infty)}\Rightarrow{x\in{(-\infty,-4]}}$

$S''':x-1\ge 0\Rightarrow{x\in{[1,+\infty)}}$
$S^{IV}:x^2+2x-8>(x-1)^2\Rightarrow{x\in{(\frac{9}{4},\infty)}}$

$S_{2}=S'''\cap S^{IV}\Rightarrow{x\in{(\frac{9}{4},+\infty)}}$

Rjesenje pocetne nejednacine je
$S=S_{1}\cup S_{2}\Rightarrow{x\in{(-\infty,-4]\cup{(\frac{9}{4},+\infty)}}$

Provjera:
za x=-5: $\sqrt{25-10-8}>-5-1\Rightarrow{\sqrt{7}>-6}$ sto je tacno
za x = 3: $\sqrt{9+6-8}>3-1\Rightarrow{\sqrt{7}>2$ sto je tacno

Eto, to ti je TO ;)

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 20:41 · pre 236 meseci #4

Hvala i meni si puno pomogao sa ovim resenjem. Jedno pitanje. Ovaj postupak se koristi samo onda kada je uslov da je ta strana manja od korena?

Potpis

Kad te majstor Zivota opravi bices na konju!!

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 22:05 · pre 236 meseci #5

Ne, postupak je malod rugaciji ;)
Evo napisati cu generalno:
Nejednacina $\sqrt[2n]{f(x)}<g(x)$ je ekvivalentna sljedecem sistemu nejednacina

1. $f(x)\ge 0$ - Ovaj uslov odreduje definiciono podrucje nejednacine
2. $g(x)>0$ - Ovaj uslov odreduje podrucje kojem moraju pripadati rjesenja nejednacine
3. $f(x)<[g(x)]^{2n}$ - Predstavlja ekvivalentnu nejednacinu, koju treba rijesiti tako da njena rjesenja zadovoljavaju uslove 1. i 2.

Primjer:
$\sqrt{2x-1}<x-2$

RJESENJE:
1. $2x-1\ge 0\Rightarrow{\forall{x\in{\Bigg[\frac{1}{2},\infty\Bigg )}}}$

2. $x-2>0\Rightarrow{\forall{x\in{(2,\infty)}}}$

3. $2x-1<(x-2)^2\Rightarrow{(x-1)(x-5)>0\Rightarrow{\forall{x\in{(-\infty,1)\cup{(5,\infty)}}}}}$

Skup rjesenja $x\in{(-\infty,1)$ ne zadovoljava uslov 2. pa ih odbacujemo. Prema tome, rjesenje nejednacine je $x\in{(5,\infty)}$

Eto, valjda sam pomogao. Nejednacine cesto dolaze na prijemnim ispitima. Treba ih dobro savladati.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 22:25 · pre 236 meseci #6

@Ovaj postupak se koristi samo onda kada je uslov da je ta strana manja od korena?@

Za ovo sto si sad naveo znam. Posto je koren manji od desne strane a pravilo je da je veci ili jednak od nule samim tim je i leva strana vca od nule...A ono prvo se koristi u suprotnom slucaju... Mislim da nisi dobro procitao moj post.. Hvala u svakom slucaju...

Potpis

Kad te majstor Zivota opravi bices na konju!!

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 22:54 · pre 236 meseci #7

Hmmmm, pa imate tu obadva primjera, i kad je korjen manji od necega, i kad je korjen veci od necega, nema nista trece.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 23:10 · pre 236 meseci #8

Ma sve je meni jasno samo sam ja nesto zakljucio posle tvog prvog resenja (odnosno za prvi primer) a ti si to drugacije protumacijo. Ma to sad nije bitno, vazno je da ja sutra idem da prijavim prijemni ispit i da ste vi meni PUNO pomogli i ako ne polozim ( nedaj boze) vi ste krivi. :) salim se hvala vam ljudi!!!

Potpis

Kad te majstor Zivota opravi bices na konju!!

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 23:10 · pre 236 meseci #9

Kolinse da li mozes da mi objasnis drugi uslov,da $x-2>0$ . Ovo razumem na toj nejednacini, a sta ako je $x<\sqrt{9-x^2}$ . Sta je sad ovde $g(x)$

Potpis

Eureka!

MILAN DJUKIC
D J U K A

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 23:11 · pre 236 meseci #10

Mislim da sam sada shvatio, nije mi bilo jasno otkud S'' i S''' korak u tvom rješenju, to je ono što mi je zapravo i nedostajalo.. U svakom slučaju, uradio sam sad nejednačine na taj način i dobio tačna rješenja.

Citat:

Eto, valjda sam pomogao.

Naravno da jesi, hvala još jednom.

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 23:14 · pre 236 meseci #11

U zadatku stoji da je x-2 > od korena. A posto je svaka podkorena velicina veca ili jednaka nuli, a nesto sto je vece od toga mora biti vece i od nula. :) Tako sam ja to shvatio...

Potpis

Kad te majstor Zivota opravi bices na konju!!

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 23:20 · pre 236 meseci #12

Pa koliko sam ja shvatio pošto je $\sqrt{2x-1} \ge 0$ i $x-2>\sqrt{2x-1}$ , odatle je i $x-2>0$ .

@zivota11:
Upravo tako, pisao sam poruku pa nisam vidio tvoj odgovor.

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 23:21 · pre 236 meseci #13

Tako sam i ja nekako skontao. A zasto je u prvoj nejednacini $x-1>0$ Sta ako je resenje nejednacine lupam $\sqrt{5}>2$ Ovde x-1 ne mora biti manje od 0.

Potpis

Eureka!

MILAN DJUKIC
D J U K A

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 23:28 · pre 236 meseci #14

To je samo uslov da bi moglo da se kvadrira... jel da bi se kvadriralo i jedna i drua strana moraju da bude vece od nule. A onda u drugom delu ima kad je manje od nule... Ustvari to je u prvom delu za S"

Potpis

Kad te majstor Zivota opravi bices na konju!!

Re: kvadratne nejednačine 20.06.2007. u 23:38 · pre 236 meseci #15

Vidim da je ovo izazvalo veliku zabunu, pokušaću i ja da objasnim na svoj način. Kada imamo recimo slučaj

$x<\sqrt{9-x^2}$

tada, prvo, znamo da je desna strana nejednačine uvek veća od nule ili eventualno jednaka nuli. Što se leve strane jednačine tiče, za nju ne znamo ništa. Zato posebno radimo za dva slučaja:
- da je leva strana nejednačine manja od nule ( $x<0$ );
- da je leva strana nejednačine veća ili jednaka nuli ( $x\ge 0$ ).
U slučaju da je leva strana manja od nule, tada je nejednačina uvek zadovoljena, s obzirom da je desna strana veća ili jednaka nuli, pa je samim tim veća i od leve strane (osobina tranzitivnosti). Znači, samo treba odrediti oblast definisanosti i naći presek sa onim vrednostima za koje je leva strana manja od nule, kako smo pretpostavili.
U slučaju da je leva strana veća ili jednaka nuli, tada možemo da kvadriramo obe strane nejednačine, a znak nejednačine se neće promeniti, jer su obe strane pozitivne. Nađemo presek tih rešenja sa onim vrednostima za koje je leva strana nejednačine veća ili jednaka nuli i to su rešenja za drugi slučaj.
Na kraju nađemo uniju ova dva skupa rešenja.

Re: kvadratne nejednačine 21.06.2007. u 00:26 · pre 236 meseci #16

Hajde da uradim jos jedan primjer, jer cete tako najlakse skontati fazon ;)
Rijesiti nejednacinu:

$\sqrt{x-1}+\sqrt{4x+1}>\frac{4}{\sqrt{x-1}}$

1. Definiciono podrucje date nejednacine, tj one vrijednosti x-ova za koje parni korjeni imaju smisla (drugacije receno, postoje) :

$x-1>0\Rightarrow{x>1}$ - ovdje je strogo vece, jer se taj isti izraz nalazi u nazivniku, pa ne smijemo staviti da je $\ge 0$
i
$4x+1\ge 0\Rightarrow{x\ge{-\frac{1}{4}}}$

Prema tome, x moze pripadati skupu $(1,\infty)$
Znaci, kad nadjemo rjesenja POCETNE nejednacine, moramo provjeriti da li ona pripadaju ovom (prethodnom) skupu.
Nakon sto citavu nejednacinu, pomnozimo sa $\sqrt{x-1}$ (sto sada smijemo, jer je x>1, tj. potkorjena velicina je POZITIVNA, i RAZLICITA od nule), dobijemo sljedecu nejednacinu:
$x-1+\sqrt{(x-1)(4x+1)}>4$
$\sqrt{(x-1)(4x+1)}>5-x$ *

E sad dolazi ono kljucno tj. kako rijesiti ovu nejednacinu, odnosno, kad je smijemo kvadrirati. Jedno znamo, a to je, da izraz pod korjenom MORA biti veci ili jednak nuli. Ako je tako, sta je onda sa DESNOM stranom? Kakva moze biti ona? Moze biti pozitivna, ili negativna.
1. SLUCAJ: Ako je negativna, onda je nejednacina zadovoljena, za sve vrijednosti x-a, za koje je potkorjena velicina definisana. znaci, imamo ovako nesto:
nesto, sto mi "natjeramo" da bude pozitivno (jer mora biti takvo radi korjena) > od necega, sto je negativno ili nula
2. SLUCAJ: Ako je je desna strana pozitivna, onda mozemo kvadrirati citavu nejednacinu bez problema, i rijesiti je.
RJESENJE POCETNE NEJEDNACINE, PREDSTAVLJA UNIJU OVA DVA SLUCAJA.
Posto smo vec u deifinicionom podrucju, obezbjedili, da su izrazi pod korjenom definisani, onda imamo:
SLUCAJ1:
$5-x\le{0}\Rightarrow{x\in{[5,\infty)}}$ - ovdje smo uzeli vece ili jednako (da vas ne zbunim, jer sam u SLUCAJU rekao NEGATIVNA, a ovdje kazem da moze biti i nula), jer zbog definicioniog podrucja, potkorjena velicina nejednacine * ne moze biti nula.
RJESENJE PRVOG SLUCAJA JE $x\in[5,\infty)}$
SLUCAJ2:
$(x-1)(4x+1)>(5-x)^2$ i $5-x\ge{0}$
$4x^2+x-4x-1>25-10x+x^2$ i $x\le{5}$
$3x^2+7x-26>0$ i $x\in(-\infty,5]$
$(x-2)(3x-13)>0$ i $x\in(-\infty,5]$
$x\in{(-\infty,-\frac{13}{3})\cup{(2,\infty)}}$ i $x\in(-\infty,5]$
RJESENJE DRUGOG SLUCAJA JE $x\in{(-\infty,-\frac{13}{3})\cup{(2,5]}}$

KONACNO RJESENJE, POCETNE NEJEDNACINE JE UNIJA SLUCAJ1 I SLUCAJ2, PRI CEMU MORAMO PAZITI, DA SE TA UNIJA NALAZI U SKUPU, KOJI NAM PREDSTAVLJA DEFINICIONO PODRUCJE (tj. $(1,\infty)$ ). ZNACI, RJESENJE JE: $\forall{x\in{\{[5,\infty)\cup{((-\infty,-\frac{13}{3})\cup{(2,5])}}\}}\cap{(1,\infty)}=(2,\infty)$ - ovjde sam namjerno zamjenio intervale, iako je pravilo da se prvo pise onaj "negativniji".
Eto, nadam se, da cete, nakon sto ovo procitate, imati manje upitnika iznad glave. Pozz

Veliko HVALA Daniel. Zaista sam umoran, od ove vrucine, legnem ujutro u 5h, ustanem oko 10, i tako stano, jos radim i seminarski iz baza podataka, pa sam naletio na nekakve problemcice, tako da sam iscrpljen poprilicno, a htio sam da pomognem.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: kvadratne nejednačine 21.06.2007. u 01:50 · pre 236 meseci #17

Kolinse, napravio si tri omaške, molio bih te da ih ispraviš, ljudi su već ionako zbunjeni, a ovo bi ih moglo još i dodatno zbuniti:

1. U samoj postavci se nalazi greška, $\sqrt{x-1}+\sqrt{2x+1}>\frac{4}{\sqrt{x-1}}$ - kanda bi umesto $2x+1$ trebalo da stoji $4x+1$ , s obzirom na kasniji postupak;

2. $(x-1)(4x-1)>(5-x)^2$ - ovo kad se sredi ne dobije se $3x^2+7x-26>0$ , nego $3x^2+5x-24>0$ ;

3. Presek slučajeva $x\in{(-\infty,-\frac{17}{3})\cup{(2,\infty)}}$ i $x\in(-\infty,5]$ bi bio $x\in{(-\infty,-\frac{17}{3})\cup{(2,5]}}$ , a ne samo $x\in(2,5]$ .

Znam da je pospanost učinila svoje, ali bolje ovo ispraviti nego da se nepotrebno stvaraju novi upitnici iznad glava naših mlađih kolega.

Re: kvadratne nejednačine 21.06.2007. u 12:59 · pre 236 meseci #18

Hvala i na drugom primeru....

Potpis

Kad te majstor Zivota opravi bices na konju!!

Re: kvadratne nejednačine 22.06.2007. u 14:11 · pre 236 meseci #19

Ako moze mala pomoc?

(x^2 - 2x)(2x-2)<(i jednako :) ) 9 ((2x-2)/(x^2-2x))

e kad to sredim onda dobijem (x^2 - 2x)^2 <(i jednako) 9
Da li to moze da se pise ovako (x^2 - 2x)^2 <(i jednako) (+-)3^2
Jel dobro za sada?

Potpis

Kad te majstor Zivota opravi bices na konju!!

Re: kvadratne nejednačine 22.06.2007. u 14:30 · pre 236 meseci #20

Prvo, nisi dobro sredio, zanemario si mogućnost da $x^2-2x$ i $2x-2$ mogu biti manji od nule.

Znači, imao si polaznu nejednačinu

$(x^2-2x)(2x-2)\le 9\frac{2x-2}{x^2-2x}$

Prvo odrediš oblast definisanosti (treba da se dobije $x\in (-\infty,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)$

zatim skraćuješ prvo sa $2x-2$ , ali vodiš računa da ako je $2x-2<0$ tada se znak nejednačine menja, a ako je $2x-2>0$ , tada se znak nejednačine ne menja.

Ista priča i za množenje obe strane sa $x^2-2x$ ...

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme