Kako se doslo do broja e ??

Evo sad mi pade na pamet ovo. Cini mi se da nisam bio u skoli kad smo ucili broj e .Dal se do njega doslo preko limesa ili kako?

Potpis

Eureka!

MILAN DJUKIC
D J U K A

Ako misliš na definiciju, ona glasi



ili



A ako misliš na to kako se došlo do njegove brojne vrednosti, mene je isto tako dugo vremena kopkalo kako se došlo do brojne vrednosti broja , a jedan od postupaka je razvoj funkcije u Tejlorov red, pri čemu se za dobije

Mnogi procesi u prirodi rastu ili opadaju ekponencijalno. Rast populacije je eksponencijalan. Broj radioaktivnih jezgara eksponencijalno opada... Zbog toga se pojavila potreba za uvodjenjem broja e tzv. Neperovog broja ( ako se ne varam.)

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Ako su onda za svako važi tako da su u tom smislu sve osnove ravnopravne. Međutim, prirodna osnova se ipak po nečemu izdvaja od ostalih. Recimo, kako ćete izračunati (sa željenom tačnošću) bez računskih pomagala?

Tejlorov razvoj funkcije u okolini tačke glasi

Prethodna jednakost važi za No, da bi se primenila, neophodno je najpre znati koliko je U slučaju da je nemamo problem budući da je Sa druge strane, je Slično je i kod drugih formula koje su povezane sa logaritamskim i eksponencijalnim funkcijama (ne samo za njihovo računanje). Najlakše se računa prirodni logaritam, a onda se svi ostali svode na njega.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Da probam da napravim mali istorijski pregled.

Razvoj fizike (uglavnom astronomije) u 16/17 veku je zahtevao brzo računanje. Sabiranje je dovoljno jednostavno, problem je bio brzo množenje. Kako svesti množenje na sabiranje?

Najjednostavnije, pravljenjem tablica stepena (koje su bile i ranije poznate), za x=2^y tablica je:
y 0 1 2 3 4 5
x 1 2 4 8 16 32

znači pomoću ove tablice možemo da pojednostavimo računanje nekih proizvoda, npr.
4*8 = 2^2 + 2^3 = 2^(2+3) = 2^5 = 32, množenje se svodi na sabiranje i čitanje podataka iz tablica.
Ovo je ustvari tablica logaritama, znači množenje x-ova odgovara sabiranju y.

Naravno ovakve tablice ne piju vodu, jer je razmak između x-ova veliki. Finiju raspodelu x-ova možemo da dobijemo tako što je za osnovu uzmemo bazu blisku 1, npr. 1.0001

y 0 1 2 ...
x 1 1.0001 1.00020001 ...

Sada imamo tablicu koja daje vrednosti x = 1.0001^y, gde je y=0,1,2...
Ako želimo još finiju podelu možemo smanjiti korak za y, npr. y=y/10^4.
Sada dobijamo x=1.0001^(10000*y), takođe je i dy/dx = 1/x (ovo dy je korak ne diferencijal, da ne potežem tex, nisam baš vešt).
Dakle dobijamo da je 1.0001^(10000*y) = (1.0001^10000)^y

y 0 0.0001 0.0002 ...
x 1 1.0001 1.00020001 ...

Dobili smo novu logaritamsku tablicu, a njena baza je:
b = 1.0001^10000 = (1 + 1/10^4)^(10^4) = (priblizno) e

Nova tablica daje približne vrednosti prirodnog logaritma, da smo u staroj tablici odabrali bazu još bližu jedinici, dobili bi još bolju aproksimaciju.

Neper je koristio bazu 0.9999999, a Burgi 1.0001.
Ovo je ideja, mada prelaz nije urađen ovako, već geometrijski, Mercator (1667).

Koga interesuje detaljnije neka potraži:
Kako je stvarana novovjekovna matematika, Zvonimir Šikić, Školska knjiga, Zagreb 1989

Jel moze neko da mi kaze koliko je ? Ja bih rekao da je to neodredjeno, ali wolfram kaze da je to jednako beskonacno. o.O

Logaritam negativnog broja nema rešenja u skupu realnih brojeva.
Sa druge strane, logaritam negativnog broja ima rešenje u skupu kompleksnih brojeva, jer je pa je .

Aa... da. Numerus mora da bude veci od nule. Hvala !!

U kompleksnoj analizi



ln-je ln iz realne analize.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

U kompleksnoj analizi da bi izdvojio jednu granu logaritma moraš da izbaciš neku krivu koja spaja nulu i beskonačnost i da izabereš u jednoj tački jednu od mogućih vrednosti. Jedan od mogućih izbora je izbacivanje nepozitivnih realnih brojeva uz . Onda je



za i .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na pitanje iz naslova:

Perhaps surprisingly, since this work on logarithms had come so close to recognising the number e, when e is first "discovered" it is not through the notion of logarithm at all but rather through a study of compound interest. In 1683 Jacob Bernoulli looked at the problem of compound interest and, in examining continuous compound interest, he tried to find the limit of (1 + 1/n)^n as n tends to infinity. He used the binomial theorem to show that the limit had to lie between 2 and 3 so we could consider this to be the first approximation found to e. Also if we accept this as a definition of e, it is the first time that a number was defined by a limiting process. He certainly did not recognise any connection between his work and that on logarithms.


Znači, Bernuli je rešavjući problem kontiualnog ukamaćivanja došao do broja e i smestio ga u interval od 2 do 3. Interesantan članak na srpskom, na ovu temu, možete pogledati O V D E.


Isto važi i za čuvenu Bernulijevu nejednakost koja prevedena na ekonomski jezik glasi:

Uz isti početni kapital i istu kamatnu stopu, obračunavanje kamate po
složenom računu donosi više para nego obračunavanje po prostom računu.

http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/e.html

Pozdrav svima,
cesto pratim mat. na ovom forumu, ne vezano za ovu temu, ali me interesuje sta je Nedjeljko zavrsio, za mene se vrh, svala cast...

Potpis

www.portanaturae.com

Obzirom da je pitanje privatno, prikladnije je bilo da bude postavljeno putem privatne poruke. Tim putem je odogovoreno, pa pošto to nema veze sa temom, moderatori mogu ove dve poruke da obrišu.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

A sta si ti kandorus zavrsio?

Neka budu 4 posta

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Pa, ne bi se reklo da je završio četvrti razred gimnazije.

Pet postova za brisanje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.