Povrsina kruga i elipse pomocu integrala

Povrsina kruga i elipse pomocu integrala 20.03.2007. u 20:54 · pre 238 meseci #1

Jel neko moze da mi izvede ove dvije formule? Hvala unaprijed

Re: Povrsina kruga i elipse pomocu integrala 20.03.2007. u 22:55 · pre 238 meseci #2

Hajd da ja pokusam. Neka je elipsa data jednacinom $b^2x^2+a^2y^2=a^2{b^2}$
Odatle slijedi da je jednacina gornjeg dijela elipse

$y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$
Sada mozemo izracunati cetvrtinu elipse koja se nalazi u prvom kvadrantu. Dakle, radi se o formuli:

$\frac{1}{4}P=\int_{0}^{a}ydx$
Ako jednacinu elipse napisemo u obliku
$\Big (\frac{x}{a}\Big )^2+\Big (\frac{y}{b}\Big )^2=1$ i uporedimo je sa jednacinom $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$
mozemo doci do smjene
$\frac{x}{a}=\cos{t}\Rightarrow{x=a\cos{t}}\Rightarrow{dx=-a\sin{t}dt}$ i $\frac{y}{b}=\sin{t}\Rightarrow{y=b\sin{t}}$
Kad to uvrstimo u integral * dobijemo
$\int{ydx}=\int{b\sin{t}(-a\sin{t})dt}=-ab\int{\sin^2{t}}dt=-ab\int{\frac{1-\cos{2t}}{2}}dt=\frac{-ab}{2}\int{(1-\cos{2t})}dt=-\frac{ab}{2}(t-\frac{\sin{2t}}{2})=\frac{ab}{4}(\sin{2t}-2t)$
Sada odredimo granice
$x=0\Rrightarrow{t=\frac{\pi}{2}}$ i $y=a\Rrightarrow{t=0}$
Prema tome, trazena cetvrtina povrsine elipse ce biti
$\frac{1}{4}P=\int_{0}^{a}ydx=\frac{ab}{4}(\sin{2t}-2t)|^{0}_{\frac{\pi}{2}}=\frac{ab}{4}(\sin{0}-2\cdot{0})-\frac{ab}{4}(\sin{\pi}-\pi)=\frac{ab\pi}{4}$
odakle slijedi da je
$P=ab\pi$

Specijalan slucaj je kruznica, kada je a=b=r, onda je na osnovu prethodne formule povrsina kruznice
$P=r^2\pi$

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

elipsa.JPG4.13k

Re: Povrsina kruga i elipse pomocu integrala 20.03.2007. u 23:30 · pre 238 meseci #3

Dobio si odgovor za izračunavanje površine preko analitičkog izraza. U slučaju da ti je potrebno i izvođenje površina pomoću integracije isečaka, o tome imaš na sledećim linkovima:
Površina kruga
Proširenje prethodnog rešenja na slučaj elipse
Pozdrav.

Srodne teme