Formula za izračunavanje parametara linearne, kvadratne i exponencijalne regresije?.

Neka su date tačke $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n).$ Potražićemo najbolje aproksimacije u nekim klasama funkcija metodom najmanjih kvadrata.

Linearna regresija

Funkcija kojom aproksimiramo: $y=ax+b.$

Ukupno kvadratno odstupanje: $s=(ax_1+b-y_1)^2+\cdots+(ax_n+b-y_n)^2.$

Najmanje ukupno odstupanje u zavisnosti od $a,b$ se postiže kada je $\frac{ds}{da}=\frac{ds}{db}=0,$ odnosno

$(ax_1+b-y_1)x_1+\cdots+(ax_n+b-y_n)x_n=0 i (ax_1+b-y_1)+\cdots+(ax_n+b-y_n)=0,$

Što je sistem od dve linearne jednačine po $a,b$ koji se može zapisati i kao

$\begin{array}{l}(x_1^2+\cdots+x_n^2)a+(x_1+\cdots+x_n)b=x_1y_1+\cdots+x_ny_n,\\ (x_1+\cdots+x_n)a+nb=y_1+\cdots+y_n.\end{array}$

Za $n\geq 2$ ovaj sistem ima jedinstveno rešenje po $a,b$ koje glasi:

$\begin{array}{l}\displaystyle a=\frac{(x_1+\cdots+x_n)(y_1+\cdots+y_n)-n(x_1y_1+\cdots+x_ny_n)}{(x_1+\cdots+x_n)^2-n(x_1^2+\cdots+x_n^2)}\\ \\ \displaystyle b=\frac{(x_1+\cdots+x_n)(x_1y_1+\cdots x_ny_n)-(x_1^2+\cdots+x_n^2)(y_1+\cdots+y_n)}{(x_1+\cdots+x_n)^2-n(x_1^2+\cdots+x_n^2)}.\end{array}$

Ove vrednosti treba uvrstiti u jednačinu funkcije $y=ax+b,$ i to je to.

Kvadratna regresija

Funkcija kojom aproksimiramo: $y=ax^2+bx+c.$

Ukupno kvadratno odstupanje: $s=(ax_1^2+bx_1+c-y_1)^2+\cdots+(ax_n^2+bx_n+c-y_n)^2.$

Najmanje ukupno odstupanje u zavisnosti od $a,b,c$ se postiže kada je $\frac{ds}{da}=\frac{ds}{db}=\frac{ds}{dc}=0,$ odnosno

$(ax_1^2+bx_1+c-y_1)x_1^2+\cdots+(ax_n^2+bx_1+c-y_n)x_n^2=0, (ax_1^2+bx_1+c-y_1)x_1+\cdots+(ax_n^2+bx_n+c-y_n)x_n=0$ i $(ax_1^2+bx_1+c-y_1)+\cdots+(ax_n^2+bx_n+c-y_n)=0,$

Što je sistem od tri linearne jednačine po $a,b,c$ koji se može zapisati i kao

$\begin{array}{l}(x_1^4+\cdots+x_n^4)a+(x_1^3+\cdots+x_n^3)b+(x_1^2+\cdots+x_n^2)c=x_1^2y_1+\cdots+x_n^2y_n,\\ (x_1^3+\cdots+x_n^3)a+(x_1^2+\cdots+x_n^2)b+(x_1+\cdots+x_n)c=x_1y_1+\cdots+x_ny_n,\\ (x_1^2+\cdots+x_n^2)a+(x_1+\cdots+x_n)b+nc=y_1+\cdots+y_n.\end{array}$

Za $n\geq 3$ ovaj sistem ima jedinstveno rešenje po $a,b,c.$ Vrednosti za $a,b,c$ koje se dobiju rešavanjem sistema treba uvrstiti u jednačinu funkcije $y=ax^2+bx+c,$ i to je to.

Linearna regresija

Funkcija kojom aproksimiramo: $y=ce^{\lambda x}.$ Da bismo dobili linearan sistem jednačina, aproksimiraćemo skup čvorova $(\log x_1,\log y_1),\dots,(\log x_n,\log y_n)$ funkcijom oblika $ax+b,$ a onda ćemo date čvorove aproksimirati funkcijom $e^{ax+b}=e^be^{ax}.$ Dakle, $y=ce^{\lambda x}$ za $c=e^a$ i $\lambda=b.$

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme