Prirodan broj kao zbir najviše tri trougaona broja - dokaz?

Tvrđenje je posledica sledeće teoreme.

Teorema:

Svaki prirodan broj oblika $8k+3$ jednak je zbiru kvadrata triju neparnih prirodnih brojeva.

Dokaz:

Jasno je, za početak, da je svaki kvadrat po modulu $8$ kongruentan samo sa $0$ , $1$ ili $4$ ; prema tome, ukoliko se prirodan broj navedenog oblika može predstaviti kao zbir triju kvadrata, onda svaki od njih mora biti kongruentan sa $1$ po modulu $8$ , iz čega sledi da svaki mora biti neparan.

Dokažimo još da se svaki broj navedenog oblika zaista može predstaviti kao zbir triju kvadrata.

Pre svega, navešćemo stvari koje će nam trebati u dokazu.

• Dirihleova teorema. Svaki aritmetički niz čija je razlika uzajamno prosta s prvim članom sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva.

— Dokaz ove teoreme je prilično komplikovan i verovatno nezanimljiv većem broju posetilaca ovog foruma. S druge strane, sama teorema je vrlo poznata i vrlo jednostavne formulacije, pa ju je sasvim opravdano koristiti bez dokaza.

• Osnovni pojmovi o celobrojnim (trinarnim) kvadratnim formama.

• Osnovni pojmovi o kvadratnim ostacima.

Neka je $F(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2dyz+2exz+2fxy$ trinarna kvadratna forma takva da je $D(F)=1$ . Označimo $C=ab-f^2\quad(1)$ . Na osnovu Silvesterovog kriterijuma sledi da je $F$ pozitivno definitna akko je $a>0$ i $C>0$ (zapravo, ovo se jednostavno može dokazati i zasebno, ali dokaz je čista tehnikalija i nema realne potrebe za tim).

Da bismo dokazali teoremu, dovoljno je pokazati da za svako $m=8k+3$ postoje trinarna kvadratna forma $F$ i vrednosti $X,Y,Z$ takvi da važi:
$F(X,Y,Z)=m\quad(2)$
$a>0\quad(3)$
$C>0\quad(4)$
$D(F)=1\quad(5)$

Evo jedne mogućnosti. Neka je:
$X=Y=0$
$Z=1$
$c=m$
$d=0$
$e=1$

Primetimo da za ovako odabrane vrednosti važi $F(X,Y,Z)=m$ , što ispunjava uslov $(2)$ . Uslov $(5)$ svodi se na:
$D(F)=Cm-b=1\quad(6)$

Sada imamo $C+f^2\mathop=^{(1)}ab\mathop=^{(6)}a(Cm-1)\Rightarrow f^2=a(Cm-1)-C\quad(7)$ , što implicira uslov $(3)$ (svakako, $m>1$ ). Prema tome, dovoljno je za $C$ odabrati prirodan broj $q$ (ovim ispunjavamo uslov $(4)$ ) takav da je $-q$ kvadrat po modulu $qm-1$ , na osnovu čega ćemo iz $(7)$ dobiti $f$ .

Kako je, podsetimo se, $m=8k+3$ , zaključujemo da je $\frac{m-1}2$ neparan broj. Prema Dirihleovoj teoremi, postoji prost broj $p$ i prirodan broj $q$ takav da je $p=4mu+\frac{m-1}2=\frac{(8u+1)m-1}2$ . Odabraćemo $q=8u+1$ . Tada je $q>0$ i $2p=qm-1\quad(8)$ . Sada iz $q\equiv 1\pmod 8$ i $p\equiv 1\pmod 4$ zaključujemo:
$\begin{array}{rll} \left(\frac{-q}p\right)&=\left(\frac{-1}p\right)\left(\frac q p\right)=&\hbox{jer su kvadratni ostaci multiplikativni}\\ &=\left(\frac q p\right)=&\hbox{jer je $p\equiv 1\pmod 4$}\\ &=\left(\frac p q\right)&\hbox{prema teoremi o kvadratnoj recipro\v cnosti}\end{array}$

Takođe:
$\left(\frac{-1}q\right)=1$ , jer je $q\equiv 1\pmod 4$ ;
$\left(\frac 2 q\right)=1$ , jer je $q\equiv 1\pmod 8$ ;
$\Rightarrow\left(\frac{-2}q\right)=1$ , jer su kvadratni ostaci multiplikativni.

Ovim je dokaz završen.

Preostaje još da se vidi kako ova teorema implicira tvrđenje zadatka. Zaista, primetimo da je $(2s+1)^2=4s^2+4s+1=4s(s+1)+1=8\cdot\underbrace{\frac{s(s+1)}2}_{\hbox{trougaoni}}+1=8\triangle+1$ . Prema tome, za svaki prirodan broj $k$ važi:

$8k+3=(2a+1)^2+(2b+1)^2+(2c+1)^2=8\triangle_a+1+8\triangle_b+1+8\triangle_c+1\Rightarrow k=\triangle_a+\triangle_b+\triangle_c$ .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme