Vrlo tezak zadatak

Da ispišem rešenje pa možete da me kamenujete. :)

Lema:

Neka su $a_1, a_2, \dots, a_n$ pozitivni realni brojevi i neka je $\varepsilon$ primitivan $n$ -ti koren jedinice, tj. $\varepsilon=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$ . Ako stranice mnogougla sa jednakim uglovima imaju dužine $a_1, a_2, \dots, a_n$ (u smeru suprotno kazaljci na satu), onda je:
$a_1+a_2\varepsilon+a_3\varepsilon^2+\cdots+a_n\varepsilon^{n-1}=0$ .

Dokaz:

Neka su stranice mnogougla vektori orijentisani u smeru suprotnom kazaljci na satu (na slici je prikazan primer za $n=8$ ). Tada je suma ovih vektora jednaka nuli. Translirajmo sve vektore tako da imaju zajednički početak $O$ . Ako sada zamislimo da se nalazimo u kompleksnoj ravni, vidimo da su tačke kojima odgovaraju ovi vektori upravo $a_1, a_2\varepsilon, a_3\varepsilon^2,\dots,a_n\varepsilon^{n-1}$ , redom. Sledi tvrđenje leme.

Možemo još zapaziti da obrnuti smer ne važi uvek što vidimo, recimo, na primeru paralelograma. Ipak, na osnovu dokaza zaključujemo za pozitivne realne brojeve $a_1, a_2, \dots, a_n$ takve da važi $a_1+a_2\varepsilon+a_3\varepsilon^2+\cdots+a_n\varepsilon^{n-1}=0$ uvek postoji mnogougao sa jednakim uglovima čije su to stranice (tim redom).

Sada možemo preći na tvrđenje zadatka.

Dovoljno je dokazati da postoji polinom

$f(x)=a_1+a_2x+\cdots+a_{1990}x^{1989}$

takav da su $a_1,a_2,\dots,a_{1990}$ brojevi $12, 22, \dots, 19902$ u nekom poretku i da je $f(\varepsilon)=0$ za $\varepsilon=\cos\frac{2\pi}{1990}+i\sin\frac{2\pi}{1990}$ . Drugim rečima, pokazujemo da postoji permutacija $\sigma(0),\sigma(1),\dots,\sigma(1989)$ brojeva $0,1,\dots,1989$ takva da je
$12\varepsilon^{\sigma(0)}+22\varepsilon^{\sigma(1)}+32\varpesilon^{\sigma(2)}+\cdots+19902\varepsilon^{\sigma(1989)}=0$ .

Za proizvoljan prirodan broj $0\leq k\leq 1989$ definišimo preslikavanje
$\sigma(k)=\left\{\begin{array}{ll} 2k,&0\leq k\leq 994\\ 2k-995,&995\leq k\leq 1989\end{array}\right.$

Lako se proverava da je ovako definisano preslikavanje, po modulu $1990$ , zaista permutacija brojeva $0,1,\dots,1989$ . Proverimo ispunjava li željene uslove.

$\begin{array}{lll} f(\varepsilon)&=&12+22\varepsilon^2+32\varepsilon^4+\cdots+9952\varepsilon^{1988}+\\ &&+9962\varepsilon^{995}+9972\varepsilon^{997}+\cdots+19902\varepsilon^{2983}=\\ &=&(12+22\varepsilon^2+32\varepsilon^4+\cdots+9952\varepsilon^{1988})+\Big((12+22\varepsilon^2+32\varepsilon^4+\cdots+9952\varepsilon^{1988})\varepsilon^{995}+9950\varepsilon^{995}(1+\varepsilon^2+\varepsilon^4+\cdots+\varepsilon^{1988})\Big)=\\ &=&(12+22\varepsilon^2+32\varepsilon^4+\cdots+9952\varepsilon^{1988})(1+\varepsilon^{995})+9950\varepsilon^{995}\frac{\varepsilon^{1990}-1}{\varepsilon^2-1}=\\ &=&(12+22\varepsilon^2+32\varepsilon^4+\cdots+9952\varepsilon^{1988})(1-1)+9950\varepsilon^{995}\frac{1-1}{\varepsilon^2-1}=\\ &=&0\end{array}$

Ovim je zadatak rešen, a sad brzo bežim da ne bih čuo komentare. ;) Šalim se, naravno, kao i uvek ću vrlo rado primiti eventualne kritike i/ili pohvale, i razrešiti nedoumice.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme