[es] - Parametarski integrali, singulariteti, ... nocna mora!

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
195.252.86.*

+5 Profil

Parametarski integrali, singulariteti, ... nocna mora!

^{20.08.2006. u 18:07 - pre 215 meseci}

Sada pripremam Analizu 2, pa sam se zaglibio kod parametarskih integrala.

I) Evo prvog problema, iz septembra 1994.:

Nekako sam uspeo da dobijem 1), ali pod 2) ne mogu nikako da dokažem
ravnomernu konvergenciju. U rešenju tog zadatka iz Rokova stoji:

Kada u Matematici otkucam

Code:

\!$\[ Integral ]\_0\%1\(\((\(-2$ \[ Alpha ]\^2)\)\/t\)
$1\/\(1 - \[ Alpha ]\^2 + \(\[ Alpha ]\^2$ t\^2\)\) \[ DifferentialD ]t\)

tj.

(što se dobija predloženom smenom), dobijem sledeće:

Code:

\!$Integrate::"idiv" \( : \ $
"Integral of \!$-\(\(2\\ \\[ Alpha ]\^2$\/$t\\ \((1 - \\[ Alpha ]\^2 + \(t\
\^2\\ \\[ Alpha ]\^2$)\)\)\)\) does not converge on \!${0, 1}$."\)

Dakle, smena

ne može da se primeni??! Ako može, zašto taj
integral divergira?

II) Drugi problem je iz jula 1997.:

Konkretno, kaže se da je za

podintegralna
funkcija asimptotski ekvivalentna

, a

. Ja dobijam da je:

Kako onda integral konvergira?

Unapred zahvalan,
Cabo

_{[Ovu poruku je menjao Cabo dana 20.08.2006. u 19:52 GMT+1]}

Kliknite da vidite kako da pišete matematičke formule u [tex]TeX[/tex]-u bez slanja slika

Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
195.252.86.*

+5 Profil

Re: Parametarski integrali, singulariteti, ... nocna mora!

^{22.08.2006. u 14:29 - pre 215 meseci}

Svi junaci nikom ponikoše...

Kliknite da vidite kako da pišete matematičke formule u [tex]TeX[/tex]-u bez slanja slika

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: Parametarski integrali, singulariteti, ... nocna mora!

^{23.08.2006. u 10:33 - pre 215 meseci}

Nikako ne uspevam da nateram

da mi prikaže \rightrightarrows - tako da (privremeno) odustajem

-koristiću \overrightarrow{\to}

I) Pošto zadatak ne bi imao smisla ukoliko dati integral ne konvergira - pozabavimo se prvo time.

Neka je

.

Vidimo da je:

pa je singularitet samo u tački

. Takođe, smatraćemo da je

.

Neka je zato

i neka je

.

Pokazaćemo da je ovaj limes uvek konačan.

Dakle, dokažimo da

ravnomerno konvergira po

kad

tj. da

.
Upotrebićemo Vajerštrasov kriterijum i pri tom, budući da na konvergenciju utiče samo ponašanje podintegralne f-je u nekoj okolini singulariteta - posmatraćemo f-ju na intervalu

za neko fiksirano

.

Za svako

i svako

važi:

za neko

.

To je posledica neprekidnosti (pa samim tim i ograničenosti) f-je

na kompaktnom skupu

(pa time i na

) a upotrebljeno je i

što je posledica važenja relacije

.

Parcijalnom integracijom dobijamo

čime je dokazano

.

U narednim tačkama koristiću neke osnovne teoreme - da ih ne bi prekucavao, pozivaću se na njihovu numereciju u drugom izdanju knjige Matematička analiza 2, D. Adnađević, Z. Kadelburg.

1. Treba ispitati neprekidnost f-je

. Možemo da upotrebimo neprekidnost f-je

pa rezultat direktno sledi na osnovu teoreme 7.3.2.

A možemo i da se malo pomučimo (ipak je to zadatak sa ispita

) i upotrebimo teoremu 7.3.1 jer imamo da int. ravnomerno konvergira a i za svako

za svako

. Evo odakle to sledi:

Neka je

dato.
F-ja

je neprekidna (pa i ograničena nekim

) na

- ovo poslednje sledi iz ograničenosti neprekidne f-je

.

Sada je jasno da postoji

tako da iz

sledi

, pa najzad imamo

za svako

što tačno znači da

pa iz teoreme 7.3.1 sledi

.

2. Ovde bi mogli da upotrebimo teoremu 7.3.3 (dovoljni uslovi za upotrebu Lajbnicovog pravila na nesvojstvene parametarske integrale), ako pokažemo da važe svi potrebni uslovi.

i) f-ja

je neprekidna na

.

ii) Za svako

integral

ravnomerno konvergira na

. To sledi na osnovu Vajerštrasovog kriterijuma:

za svako

i svako

važi

za neko

- to sledi iz ograničenosti f-je

(gledano kao f-ja po

). Ravnomerna konv. sledi zbog konvergencije integrala

.

iii)

(ravnomerno) konvergira na

time su provereni svi uslovi pa na osnovu teoreme 7.3.3 sledi tvrđenje pod 2.

3. Sada moramo da izračunamo

- jer bi nam to moglo pomoći u pronalaženju

.

U integralu

uvodimo smenu

integral postaje

Dakle, imamo da je

a odatle odmah dobijamo

.
Na osnovu definicije f-je

vidimo da je

.

Budući da sam ovo ukucavao/proveravao direktno u polju za upis odgovora - valjda ne moram da objašnjavam koliko sam se napatio

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 24.08.2006. u 02:17 GMT+1]}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
195.252.86.*

+5 Profil

Re: Parametarski integrali, singulariteti, ... nocna mora!

^{24.08.2006. u 10:23 - pre 215 meseci}

Pre svega, puno Ti hvala na odgovoru. Trenutno ga razmatram, pa ću u slučaju nekih nedoumica pisati šta mi nije jasno. I ja sam imao problema sa

-om na ES-u, izgleda da je to neka čudna verzija (običnog, ne „La“) TeH-a. Meni, npr. prikazuje kod:

Code:

[ tex ]$p>0$[ /tex ]

kao:

.

Još jednom, hvala.

Kliknite da vidite kako da pišete matematičke formule u [tex]TeX[/tex]-u bez slanja slika

Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
195.252.86.*

+5 Profil

Re: Parametarski integrali, singulariteti, ... nocna mora!

^{24.08.2006. u 12:08 - pre 215 meseci}

Šta mi nije jasno:

1) Zašto je

? Primenom Lopitalovog pravila, ja dobijam:

Što je za fiksirano

konačan broj manji od nule.

Još nešto: koliko sam ja shvatio, mi definišemo novu funkciju

koja je neprekidna, a ne posmatramo više
staru funkciju

? Onda je u redu ako napišem

?

2) Što se tiče parcijalnog izvoda funkcije

, izgleda da sam pogrešio u računu, jer sam dobio

umesto ispravnog

. Integral od onog pogrešnog izvoda, naravno, divergira, a za ovaj tačni izvod Matematika daje:

Code:

\!$If[\(\[ InvisibleSpace ]!
        \((Im[1\/\[ Alpha ]\^2] == 0 && \[ Alpha ]\^2 > 0 && 1\/\[ Alpha ]\^2 < 1)
          $\) && Arg[\[ Alpha ]\^2] \[ NotEqual ] 0,
    $-\(\(2\ \[ Alpha ]\
            ArcSin[\@\[ Alpha ]\^2]$\/\@$\[ Alpha ]\^2 - \[ Alpha ]\^4$\)\),
    \[ Integral ]\_0\%1
        $-\(\(2\ x\ \[ Alpha ]$\/$\@\(1 - x\^2$\
                $(1 - x\^2\ \[ Alpha ]\^2)$\)\)\) \[ DifferentialD ]x]\)

što u prevodu na matematički jezik, i sa izvesnim skraćenjima, znači:

3) I, naravno, ostaje drugi zadatak, za koji u rešenju iz Rokova piše da integral ravnomerno konvergira za

, a ja dobijam za

da je

. Pretpostavljam da je potrebno primeniti sličan postupak kao u prvom zadatku, tj. da treba posmatrati parametarski integral na nekom intervalu

, gde je

? Ili

?

Inače, ako nekoga interesuje što se uopšte bakćem sa parametarskim integralima, odgovor je da poena nikada nije previše — naročito ako se uzme u obzir zakidanje na sitnicama i usmeni.

_{[Ovu poruku je menjao Cabo dana 24.08.2006. u 13:54 GMT+1]}

_{[Ovu poruku je menjao Cabo dana 24.08.2006. u 14:00 GMT+1]}

Kliknite da vidite kako da pišete matematičke formule u [tex]TeX[/tex]-u bez slanja slika

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: Parametarski integrali, singulariteti, ... nocna mora!

^{24.08.2006. u 15:38 - pre 215 meseci}

Budući da

dovoljno je da pronađemo

- a primenom Lopitalovog (istoričari kažu u stvari Bernulijevog

) pravila dobijamo:

Naravno, mogli smo da primenimo isto pravilo i na celu f-ju

onda bismo dobili:

Pošto f-ja

nije ni bila definisana u tačkama

imam pravo da je definišem u njima kako god poželim, pa u konkretnom slučaju mogu baš i tako da postane neprekidna na

(gledano kao f-ja po

). Dakle, čak i formalno nisam u obavezi da uvodim novu oznaku za f-ju.

Ako su singulariteti i u

i u

podrazumeva se da je po definiciji

pri čemu je pretpostavljena integrabilnost na svakom

. S tim u vezi, jasno je da je eventualna definisanost podintegralne f-je u tačkama

potpuno irelevantna (bitno je samo njeno ponašanje u nekim okolinama tih tačaka).

Pretpostavljam da si hteo da napišeš (barem Mathematica jeste

što bi bilo u skladu sa uslovima iz druge tačke tj.

.

Što se tiče poslednjeg pitanja - integral bi se posmatrao kao zbir graničnih vrednosti dva integrala sa konačnim (ne-nula) granicama a primitivna f-ja bi bila asimptotski ekviv. sa

- tako da je sve u redu

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu

petarm
Petar Mali
Zrenjanin

Član broj: 20220
Poruke: 1879
*.mgnet.co.yu.

+33 Profil

Re: Parametarski integrali, singulariteti, ... nocna mora!

^{24.08.2006. u 16:34 - pre 215 meseci}

Bernulijevog pravila? Gde mogu naci nesto vise o tome?

http://www.svijetfizike.com/

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: Parametarski integrali, singulariteti, ... nocna mora!

^{24.08.2006. u 16:47 - pre 215 meseci}

Citat:

Biography of Johann Bernoulli:

The well known de l'Hôpital's rule is contained in this calculus book and it is therefore a result of Johann Bernoulli. In fact proof that the work was due to Bernoulli was not obtained until 1922 when a copy of Johann Bernoulli's course made by his nephew Nicolaus(I) Bernoulli was found in Basel. Bernoulli's course is virtually identical with de l'Hôpital's book but it is worth pointing out that de l'Hôpital had corrected a number of errors such as Bernoulli's mistaken belief that the integral of 1/x is finite. After de l'Hôpital's death in 1704 Bernoulli protested strongly that he was the author of de l'Hôpital's calculus book. It appears that the handsome payment de l'Hôpital made to Bernoulli carried with it conditions which prevented him speaking out earlier. However, few believed Johann Bernoulli until the proofs discovered in 1922.

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
195.252.86.*

+5 Profil

Re: Parametarski integrali, singulariteti, ... nocna mora!

^{24.08.2006. u 17:04 - pre 215 meseci}

Izgleda da bi trebalo da malo više pazim pri diferenciranju. :-/ I kod ovog limesa je opet u pitanju greška u računu. Što se tiče onog

, koliko shvatam, to bi trebalo da sledi iz

, zar ne? U tom slučaju Matematika greši.

Code:

... && 1\/\[ Alpha ]\^2 < 1 ...

Kliknite da vidite kako da pišete matematičke formule u [tex]TeX[/tex]-u bez slanja slika

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: Parametarski integrali, singulariteti, ... nocna mora!

^{24.08.2006. u 17:11 - pre 215 meseci}

U pravu si - Mathematica je izbacila upravo ono što si ti napisao (izvinjavam se

) - i očigledno je pogrešila, jer zbog postojanja

mora biti

tj.

. Mada, ako pratimo sve korake do sad - mi smo oduvek znali da je

- a to smo i iskoristili prilikom računanja

...

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 24.08.2006. u 18:47 GMT+1]}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu