Dokaz matematičkom indukcijom

Odgovori Nova tema

2 odgovora
2.582 pregleda

Dokaz matematičkom indukcijom 21.06.2006. u 23:14 · pre 248 meseci #1

Pokušavam da dokažem (matematičkom indukcijom) da ako je $x_0 \in (0,b)$ ( $b \in (0,2)$ ), onda važi i $x_n \in (0,b)$ , pri čemu je $x_{n+1} = x_n(x_n-b)^2 + x_n$ ali mi nešto baš i ne ide od ruke:

- Iz $x_0 > 0$ sledi da ako je $x_n > 0$ , onda je $x_{n+1} = x_n(x_n-b)^2+x_n = (>0) \cdot (> 0) + (>0) > 0$ .

- Drugi deo, za $x_0 < b$ . Ovde mogu da izrazim $x_{n+1}$ kao funkciju od $x_n$ , nađem maksimum preko prvog izvoda po $x_n$ i ubacim ga da bih utvrdio da je $x_{n+1} < b$ ali me interesuje ima li pametnijeg rešenja.

Zahvaljujem, uranium!

Potpis

Ipak se ++uje.

Re: Dokaz matematičkom indukcijom 22.06.2006. u 00:57 · pre 248 meseci #2

Znamo da je $0<x_0<b<2$ , dokažimo da iz $0<x_n<b$ sledi $0<x_{n+1}<b$ .

Neka je $\delta:=b-x_n$ .
$x_{n+1}=x_n(1+(x_n-b)^2)=x_n(1+\delta^2)$

Ako bi bilo $x_{n+1}\ge b$ , onda bi bilo
$x_n(1+\delta^2)\ge b$ tj.

$1+\delta^2\ge {b\over x_n}$

a koristeći definiciju broja $\delta$ dobijamo

$1+\delta^2\ge 1+{\delta\over x_n}$

tj.

$x_n\cdot\delta\ge 1$

odnosno

$x_n(b-x_n)\ge 1$
tj.
$x_n^2-bx_n+1\le 0$

diskriminanta je $b^2-4< 0$ jer je $0<b<2$ , pa vidimo da poslednja nejednakost ne važi.
Dakle, ne može biti $x_{n+1}\ge b$ , već mora biti $x_{n+1}< b$ .

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Dokaz matematičkom indukcijom 22.06.2006. u 14:28 · pre 248 meseci #3

vrlo lepo...

Potpis

Don’t do drugs, sleep deprivation is better.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme