Premeštanje poslednje cifre na početak broja

Premeštanje poslednje cifre na početak broja 10.03.2006. u 11:27 · pre 251 mesec #1

Napiši broj koji je tačno devet puta veći od samog sebe ako mu poslednju cifru premestiš na početak.

Re: Zadatak za uporne. 11.04.2006. u 16:17 · pre 250 meseci #2

Opisacu samo najlaksi primer.
Da bi broj imao isti broj cifara prva mora biti 1 a zadnja 9.
Sto znaci da dobijeni broj pocinje sa 91..

Pocetni br: 1.......9
Dobijeni br: 91........

Prvi se mnozi sa 9, pa kad se pomnozi od 9*9 dobije se br 81.
Znaci pocetni broj izgleda 1......819! Nije tako! Ova osmica zavisi i od cifre koja je ispred, ali jedinica stoji tu sigurno.Znaci

Pocetni br: 1.......19
Dobijeni br: 91........1

Sada 19 (zadnje cifre pocetnog broja) mnozimo sa 9 i dobijamo 171. Stotine ne pisemo jer opet zavise od broja ispred pa dobijamo

Pocetni br: 1.......719
Dobijeni br: 91........71

itd. Problem nastaje kada treba da upisemo nulu i da sa njome mnozimo ( desice se posle desetak cifara) Uradi kombinaciju sa svih 9 cifara i videces da ce drug cifra koju trazis (za upisivanje) uvek biti ista.
Resenje je kada zavrsis niz sa 91 (pocetkom broja koji se trazi)
Stigao sam do dvadesete-tridesete cifre pa me je mrzelo dalje da racunam. Verovatno postoji manji broj, ali je nesto komplikovanije izracunati, a nemam vremena da objasnjavam pocinju mi predavanja.

Potpis

Mogu da odolim svemu sem iskusenju

Re: Zadatak za uporne. 11.04.2006. u 17:56 · pre 250 meseci #3

Označimo traženi broj sa $x$ .

Očigledno je da zadatak ima i trivijalno rešenje: $x=0$

Potražimo sada i ostala rešenja.

Dakle, neka je $x\neq 0$ .
Kao što je salepronalazac i primetio poslednja cifra broja $x$ mora biti $9$ .
Neka broj $x$ ima $k$ cifara, onda se veza između premeštanja poslednje cifre i množenja sa $9$ može opisati jednačinom:

$9\cdot 10^{k-1}+{x-9\over 10}=9x$

koja posle sređivanja postaje:

$x=\frac{9(10^k-1)}{89}$

Broj $89$ je prost, i mora da važi $10^k\equiv 1\pmod {89}$ . Na osnovu Male Fermaove teoreme znamo da je $10^{88}\equiv 1\pmod{89}$ , a odatle sledi da je ili $10^{44}\equiv 1\pmod{89}$ ili $10^{44}\equiv -1\pmod{89}$ .
Proverom se pokazuje da je $10^{44}\equiv 1\pmod{89}$ i da je to ujedno i najmanje pozitivno rešenje jednačine $10^k\equiv 1\pmod {89}$ .

Dakle, sva rešenja su data sa $x=\frac{9(10^{44n}-1)}{89}$ , $n\in\textbf{N}_0$ .

Primera radi, evo šta se dobija za $n=1$ :

$10112359550561797752808988764044943820224719$ .

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme